*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( חח"ע ו על)
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( לא מוגדר כי <math>f(1)=?</math>)
*<math>f:\mathbb{RN}\rightarrow\mathbb{ZN} \cup \{ 0\}</math> כאשר <math>f(x)=[x]-1</math> מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"עועל)*<math>f:\mathbb{ZR}_2\rightarrow\mathbb{Z}_3</math> כאשר <math>f(x)=[x]</math> מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את 0 ל0 ואת 1 ל1הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע שאינה על. (כל פונקציה היא על לתמונה של עצמה.)
*<math>D:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> פונקצית דיריכלה: על כל מספר רציונאלי מקבלת 1 ועל כל מספר אי רציונאלי מקבלת אפס.
* תהא <math>A</math> קבוצה ו <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה. הפונקציה
* תהא <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to Im(f) </math> המוגדרת <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של f להיות התמונה של f)
* תהא <math>A\subseteq B</math> אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (במקרה ש <math>A=B</math> זה פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
===תרגיל===
נסמן ב- <math>\mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
נתבונן בפונקציה <math>f:\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> המוגדרת ע"י <math>f(g)=(g(1),g(2))</math> האם היא חח"ע? האם היא על?
====פתרון====
לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 את אותם ערכים.
על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-n, ואת 2 ל-m, היא המקור (את השאר תשלחו לאן שאתם רוצים).
===תרגיל===
תהא <math>A</math> קבוצה. נגדיר פונקציה <math>f:P(A)\rightarrow P(P(A))</math> ע"י: <math>f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\}</math> האם היא חח"ע? על?
====פתרון====
חח"ע: כן. תהיינה <math>X,Y\in P(A), X\neq Y</math> אם <math>X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X)</math> אזי <math>X\in f(X)\smallsetminus f(Y)</math>. אחרת <math>Y\in f(Y)\smallsetminus f(X)</math>.
על: לא. למשל לקבוצה <math>\{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}</math> אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
===תרגיל===
ביחד נקבל ש <math>g</math> חח"ע ועל כלומר הפיכה. נכפול ב <math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של הפיכות.
===תרגיל===
תהיינה <math>f,g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> פונקציות כך ש- <math>f(n)=g(3n-1)</math> הוכיחו:
אם <math>f</math> על אזי <math>g</math> לא חח"ע.
====פתרון====
נסמן <math>g(1)=k</math> כיון ש-<math>f</math> על אזי קיים <math>n\in \mathbb{N}</math> כך ש<math>f(n)=k</math>. מהנתון נקבל ש-<math>g(3n-1)=k</math>. כעת, כיון ש- <math>n\in \mathbb{N}</math> אזי ברור ש-<math>1\neq 3n-1</math>, ולכן אילו שני איברים שונים שנשלחים לאותו איבר. לכן <math>g</math> לא חח"ע.