דרך גרירות לוגיות:
<math>x\in A\cap (B\setminus C)\iff </math><math>(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)]\iff </math><math>[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>
בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:
בצד הימני הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה: <math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff </math><math>[(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)] </math>
וזה בדיוק מה שרצינו.
הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:
בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow</math>
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math>
(כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>x\in A\cap C</math> סתירה)
<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>
=== משלים ===
'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>U</math>, ונביט בתת קבוצה שלה <math>A</math>. ניתן להגדיר את ה'''משלים''' של <math>A</math> כאוסף האיברים ב-<math>U</math> שאינם ב-<math>A</math> (כלומר ההפרש <math>U\setminus A</math>), המסומן <math>A^c</math>. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא <math>U</math> מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
* <math>(\bigcup _{i\in I} A_i)^c = \bigcap _{i\in I} A_{i}^c </math>
==קבוצת החזקה==
'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>A</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>A</math> בתור אוסף כל תת הקבוצות של <math>A</math>. נסמן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>.
דוגמה:נבחר <math>A=\{1,2\}</math> אזי<math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>.
<math>A=\{1,2\}</math> אזי <math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? ===תרגיל ממבחן===יהיו תהינה <math>A,B,C </math> קבוצות. הוכיחו/או הפריכו:
א. אם <math>A \not\subseteq B \cap C</math> אזי <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\neq \varnothing</math>
===פתרון===
א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA ש-<math>A</math> איננה מוכלת בחיתוך של <math>B וC \cap C</math> אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>
ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי <math>x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)] </math>
<math>x\in [A\cup(B/A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)] </math>
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון <math>(x\in A)\rightarrow (x\in B)</math> ניתן להסיק בקלות ש<math>(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in B)</math> כפי שרצינו.