הוכיחו כי <math>A \triangle B = A^c \triangle B^c</math>.
====פתרון====
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\{k\in \mathbb{N}|2\leq k\leq 2n-1\}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\smallsetminus A_n</math>.
א. מצאו את <math>\cup_bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>.
ב. נגדיר <math>D_n=\mathbb{N}\smallsetminus B_n</math>. מצאו את <math>\cap_bigcap_{n\in \mathbb{N}} D_n</math>.
====פתרון====
א. התשובה: <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math>. הוכחה:
<math>\cup_bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים תת קבוצות של הטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.
<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2\leq k\leq 2n+1\}\smallsetminus \{2\leq k\leq 2n-1\}=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>.
ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_bigcap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.
==קבוצת החזקה==
'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>A</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>A</math> בתור אוסף כל תת הקבוצות של <math>A</math>. נסמן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>.
דוגמה: נבחר <math>A=\{1,2\}</math> אזי
<math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>.
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
===תרגיל===
הוכיחו או הפריכו: <math>A\cap P(P(A))=\varnothing</math>.
====פתרון====
הפרכה : ניקח <math>A=\{1,\{\{1\}\}\}</math>.
===תרגיל===
====פתרון====
א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff </math> <math>X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)</math> ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>. אז <math>\{1,2\} \in P(A\cup B)</math>, אבל לא ל-<math>P(A)\cup P(B)</math>.
ב. הפרכה: ניקח למעשה הוכיחו כי <math>P(A=)\{1\},cup P(B)=P(A\{2cup B)</math> אם ורק אם <math>A\}subseteq B</math> או <math>B\subseteq A</math>.
===תרגיל ממבחן===