הוכחה: נגדיר <math>f:A\to B </math> פונקצית ההכלה השולחת כל איבר לעצמו. פונקציה זו חח"ע ולכן <math>|A|\leq|B|</math>
===תרגיל=== הוכח כי עוצמת <math>\mathbb{N}</math> שווה לעוצמת <math>\mathbb{N}\cup\{0\}</math>
הוכחה: נגדיר <math>f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\{0\} </math> ע"י <math>f(n)=n-1 </math>.
<math>f</math> חח"ע ועל כי יש לה הופכית <math>g(n)=n+1\;\;\;\;\;g:\mathbb{N}\cup\{0\} \to \mathbb{N}</math>
=== תרגיל ===
===תרגיל ===
נגדיר ראינו בעבר את הדוגמא הבאה: תהי <math>A=\{f: \{1,2,3\}\to \{1,2,3,4,5\} : f \text{ is a function}\}, </math> קבוצה ותהי תת קבוצה <math>B=\{subseteq A</math>. נגדיר יחס <math>R\subseteq P(x,y,zA): 1\leq x,y,z \leq 5\}times P(A)</math>ע"י:
הוכח כי <math>XRY \iff X\cap B=Y\cap B</math> ראינו: א. <math>R</math> יחס שקילות. ב. לכל <math>X\subseteq A</math> קיימת <math>C\subseteq B</math> כך ש <math>[X]_R=[C]_R</math>. ג. אם <math>C,D\subseteq B</math> שונות, אז <math>[C]\neq [D]</math>. הוכיחו: <math>|P(A ו )/R|=|P(B שוות עוצמה)|</math>
פתרון:
נגדיר פונצקיה <math>Ff:P(B)\rightarrow P(A\to B)/R</math> ע"י <math>f\mapsto (f(1),f(2),f(3)X)=[X]_R</math>. הוכיחו/השתכנעו/נסביר <math>F</math> לפי א מלעיל הפונקציה על, לפי ב היא חח"ע ועל.
===תרגיל ===
פתרון: מניחים כי קיימת <math>f:A\to B</math> הפיכה. נגדיר <math>g:P(B)\to P(A)</math> ע"י <math>B'\mapsto f^{-1}[B']</math> הפיכה לפי מה שעשינו בכיתה ובש.ב..
[[קובץ:NutualSquareEqNutural.jpeg]]
====פתרון====
לגבי <math>A\times B</math> כמו בתרגיל לעיל.
לגבי האיחוד: יש פונקציה חח"ע <math>f:A\rightarrow 2\mathbb{N}</math>, ופונקציה חח"ע <math>g:B\rightarrow 2\mathbb{N}-1</math> נגדיר פונקציה <math>h:A\cup B\rightarrow \mathbb{N}</math> ע"י: <math>h(x)=\begin{cases}
f(x) & x\in A\\
g(x) & x\in B\smallsetminus A
\end{cases}</math>
היא חח"ע כמובן.
לגבי החיתוך: הוא מוכל באיחוד ו"קטן שווה" הוא טרנזיטיבי.
== עוצמת הממשיים==
====פתרון====
[[קובץ:EqveOfTowIntervals.jpeg]]
נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>.
'''הגדרה''': העוצמה של הממשיים מסומנת <math>\aleph</math>.
=== עוצמת הטבעיים קטנה ממש מעוצמת הממשיים ===
== ==
נגדיר <math>f:C\to W</math> ע"י <math>f|_A=f_1,\;\;f|_B=f_2</math>. בידקו שאכן f חח"ע ועל.
===תרגיל===
הוכיחו: <math>|\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0</math>
====פתרון====
לפי ק.ש.ב. כי מוכל ברציונאליים ומכיל <math>\aleph_0</math> שברים מהצורה <math>\frac{1}{n}</math>.
== '''תרגילי העשרה''' (לא מומלץ להעביר בתירגול) ==