שינויים

==המכפלה הקרטזית==הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות <math>A וB </math> ו-<math>B</math> הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לnל-<math>n</math>-יה סדורה - כלומר <math>n </math> איברים מסודרים.

דוגמאדוגמה: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו-<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>

 ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבאלמתכנתים:זה מאוד דומה ללולאות for מקוננות.

הוכחשלכל קבוצות <math>A,B,C,D</הפרך:math> מתקיים <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math>

1. ====פתרון====<math>[(a=cx,y)\andin (b=dA\times B)]\iff cap (C\{\{atimes D) \},b\}=\{\{c\},d\}iff </math>

2. <math>[(a=cx,y)\and(b=d)]in A\iff times B \{\{a\}land (x,y)\{a,bin C\}times D \}=\{\{c\},\{c,d\}\}iff</math>

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית <math>a=2,b=(x\{3in A\},c=3,d=and x\{2in C) \}and (y\in B\and y\in D) \iff</math>

2==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==הגדרה: יהיו <math>A,B</math> קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> אזי <math>R</math> יקרא יחס (בין <math>A</math> לבין <math>B</math>).הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי <math>A</math> ל-<math>B</math>.

הוכחהדוגמה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי <math>A=\{a1,2,3\},B=\{c0,2,6\}</math> או ש ונביט בתת הקבוצה <math>R\{asubseteq A\}times B</math> הבאה: <math>R=\{c(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,d6)\}</math>.מה מיוחד בזוגות אלה?

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, זוגות אלה הינם כל זוגות האיברים <math>\{(a,b\}=\{c,b\}=\{c\})</math> או כך ש-<math>a\{c,leq b\}=\{c,d\}</math> ונובע משניהם ש b=d. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה").

לכן, ניתן להגדיר סימון: אם זוג סדור על ידי קבוצות בלבד מסוים,נניח <math>(באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות a,b)</math>, נמצא בקבוצת היחס <math>R</math> נהוג לסמן <math>aRb</math>, או יותר נבנת על קבוצות בלבד<math>(a,b)\in R</math>. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>).

===תרגיל===הוכח שלכל קבוצות הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A,\times B</math>,C מתקיים '''היחס ההפוך''' <math>AR^{-1}\times(subseteq B\cap C)times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:<math>R^{-1}=\{(A\times Bb,a):aRb\cap(A\times C)}</math>

====פתרון====הגדרה: תהי קבוצה <math>(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in </math>. '''יחס הזהות''' על <math>A) </math> הוא <math>R\and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in subseteq A)\and(y\in B)] \and [(x\in times A)\and(y\in C)] </math> כך ש-<math>I_A=R=\iff {(xa,ya):a\in[(A\times B)\cap(A\times C)]}</math>.

==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==הגדרה: יהיו <math>A,B ,C</math> קבוצות, ו-<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> אזי R יקרא יחס (בין A ל -B).הרעיון שעומד בבסיסו של '''יחס הכפל''' הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל Bדוגמאהיחס: <math>ARS=\{1(a,2,3c)\},B=in A\{0,2,6times C | \}</math> ונביט בתת הקבוצה <math>Rexists b\subseteq A\times in B</math> הבאה: <math>R=\{(1a,2b),\in R \land (1b,6),(2,2),(2,6),(3,6c)\in S\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש ===תרגיל===יהיו <math>aA=\leq b{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. (כלומר הגדרנו נגדיר את היחס המייצג "קטן שווה": <math>R=\{(1,3) ,(2,4)\}</math>. בדוק האם:

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה א. <math>S=\RR^{(-1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}=I_A</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRbב. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq bR^{-1}R=I_B</math>.

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים תהי קבוצה <math>A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים </math> ויחס <math>R</math> עליה אזי:#<math>R</math> נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\subseteq Aforall a\times in A:(a,a)\in R</math> כך ש ).#<math>R</math> נקרא '''סימטרי''' אם <math>aRb</math> גורר שגם <math>bRa</math> (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(xa,yb)\in R\rightarrow (b,a)\in R]</math> אם"ם x הוא בן של y). שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס#<math>R</math> נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני (<math>aRb</math>), שכן יש הבדל ויחס בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שליהשני לשלישי (<math>bRc</math>) גורר יחס בין הראשון לשלישי (<math>aRc</math>).(מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>).#<math>R</math> נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם <math>aRb</math> וגם <math>bRa</math> גורר כי <math>a=b</math> (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A: \lnot (aRb\land bRa)</math>)

הגדרהדוגמאות: בהינתן *יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי*יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי*יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי*יחס 'שיוויון מודולו <math>R\subseteq A\times Bn</math> 'הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי*יחס 'הכלה'היחס ההפוךהינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי*יחס '<math>a</math> מחלק את <math>b</math>'הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי*יחס ' אדם <math>R^{-1}\subseteq B\times Ax</math> שמע על אדם <math>y</math>' הינו רפלקסיבי '''הערה:''' יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדוריםיכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמה:<math>A=\{ 1,2,3\} , R^=\{-(1,1)\}, S=\{(b1,a2),(2,1),(3,2):aRb\}</math>ואז <math>R</math> גם וגם, ואילו <math>S</math> לא ולא.