שינויים

הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות <math>A וB </math> ו-<math>B</math> הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לnל-<math>n</math>-יה סדורה - כלומר <math>n </math> איברים מסודרים.

דוגמאדוגמה: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו-<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>

הוכח שלכל קבוצות <math>A,B,C,D </math> מתקיים <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math>

<math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff </math> <math>(x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff </math> <math>(x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff </math> <math>(x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff </math> <math>(x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math>

הגדרה: יהיו <math>A,B </math> קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> אזי <math>R </math> יקרא יחס (בין <math>A ל -</math> לבין <math>B</math>).הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל Bדוגמא: <math>A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}</math> ונביט בתת הקבוצה ל-<math>R\subseteq A\times B</math> הבאה: <math>R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (aדוגמה: <math>A=\{1,b) כך ש 2,3\},B=\{0,2,6\}</math>aונביט בתת הקבוצה <math>R\leq bsubseteq A\times B</math>. הבאה: <math>R=\{(כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה"1,2) ,(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה זוגות אלה הינם כל זוגות האיברים <math>S=\{(1a,2b),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם כך ש-<math>a\emptysetleq b</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס(כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה").

סימוןהערה: אם זוג מסויםיחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2), (a1,b6), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb(2,0), או <math>(a2,b2)\in R}</math>היא יחס. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq bvarnothing</math> היא יחס, וגם <math>A\times B</math>הוא יחס.

דוגמאדוגמה: נביט בקבוצת האנשים <math>A</math>. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש -<math>(x,y)\in R</math> אם"ם <math>x </math> הוא בן של <math>y</math>. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> , '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:

הגדרה: תהי קבוצה <math>A</math>. '''יחס הזהות''' על <math>A</math> הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש: -<math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>.

הגדרה: יהיו <math>A,B,C </math> קבוצות, ו-<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> '''היחס ההרכבה/יחס הכפל''' הוא היחס: <math>S\circ RRS=\{(a,c)\in A\times C | \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}</math>.

א. <math>RRR^{-1}\circ R=I_A</math>

ב. <math>R\circ R^{-1}R=I_B</math>

הגדרה: יחס <math>R </math> על קבוצה <math>A </math> פירושו <math>R\subseteq A\times A</math>.

תהי קבוצה <math>A </math> ויחס <math>R </math> עליה אזי :#<math>R </math> נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>).#<math>R </math> נקרא '''סימטרי''' אם <math>aRb </math> גורר שגם <math>bRa </math> (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>).#<math>R </math> נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני(<math>aRb</math>), ויחס בין השני לשלישי (<math>bRc</math>) גורר יחס בין הראשון לשלישי (<math>aRc</math>). (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>).#<math>R </math> נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם <math>aRb </math> וגם <math>bRa </math> גורר כי <math>a=b </math> (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A: \lnot (aRb\land bRa)</math>)

*יחס 'שיוויון מודולו <math>n</math>' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי

*יחס '<math>a </math> מחלק את <math>b</math>' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי*יחס 'אדם <math>x </math> שמע על אדם <math>y</math>' הינו רפלקסיבי

'''הערה:''' יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמאלדוגמה: <math>A=\{ 1,2,3\} , R=\{ (1,1)\} , S=\{ (1,2),(2,1),(3,2)\}</math> ואז <math>R </math> גם וגם, ואילו <math>S </math> לא ולא.