1. מה עוצמת <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math>
פתרון: <math>\aleph_0^{\aleph_0} =2^{\aleph_0 } </math>
2. מה עוצמת <math>X=\{f\in \mathbb{N}^\mathbb{N}:f(1)\leq f(2)\}</math>
=== תרגיל ===
נגדיר <math>A</math> להיות כלי קבוצות סופיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה?
פתרון: נגדיר <math>A_iA_n</math> להיות תת אוסף תתי הקבוצות מגדול מגודל <math>in</math>. אזי <math>|A_iA_n|\leq \aleph_0^in=\aleph_0</math> כי ניתן לשלוח כל תת קבוצה ל- <math>n</math>-יה סדורה מהקטן לגדול, וראיתם בהרצאה ש <math>|\mathbb{N}^n|=\aleph_0</math>. ואז כעת, <math>|A|=|\cup_{in=0}^{\infty}A_n|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math>
=== תרגיל ===
נגדיר <math>AB</math> להיות כלי קבוצות אוסף תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה?
פתרון: מתקיים כי <math>B=A^c\land P(\mathbb{N})=A\cup A^c</math> כאשר A היא אוסף תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת שעוצמתה <math>\aleph_0</math> ולכן <math>2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=|A\cup A^c|=\aleph_0+|A^c|=\max\{\aleph_0,|A^c|\}=|A^c|</math>
=== תרגיל ===
נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה?
פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to A</math> המוגדרת <math>f\mapsto Imf</math> (אם התמונה סופית נגדיר שנשלח לטבעיים). היא על כי לכל <math>X\in A</math> קיימת <math>f:\mathbb{N}\to X</math> הפיכה, בפרט על והיא תשמש כמקור. לפי ק.ש.ב <math>|A|=2^{\aleph_0}</math>.
=== תרגיל ===