===תרגיל===
תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ is an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal and minimal} \}</math>
====פתרון====
\in I_A</math> כדרוש.
===תרגיל=== הוכח שאם <math>R</math> יחס סדר חלקי, אז גם היחס ההופכי שלו <math>R^{-1}</math> יחס סדר חלקי. ====פתרון====*רפלקסיביות: לכל איבר <math>a</math> מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>.*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.*אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>. '''הגדרה:''' יהי <math>R</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math>. אם לכל שני איברים <math>a,b\in A</math> מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי <math>R</math> נקרא '''יחס סדר מלא'''. '''דוגמה''':היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא. שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים. ====דוגמא ליחס סדר מעניין====היחס המילוני. ====תרגיל====הוכיחו שאם <math>R</math> יחס סדר מלא על <math>A</math>, ו- <math>a\in A</math> איבר מינימלי יחיד אז הוא גם קטן ביותר. ==חסמים(בד"כ לא מלמדים בהנדסה)==
'''הגדרות.''' יהיו <math>A</math> קבוצה, <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה המוכלת בה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי:
*חסם מלעיל של <math>B</math> הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של <math>B</math> הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא <math>2</math> ולכן הוא החסם העליון של <math>B</math>. אין חסם מלרע ל-<math>B</math> ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.
'''הגדרה.:''' יהי יהיו <math>R(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית. על <math>A\times B</math> נגדיר יחס סדר חלקי הנקרא '''היחס המילוני''' <math>R</math> לפי <math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math> '''דוגמה''':עבור היחס 'קטן שווה' על <math>A\mathbb{N}</math> נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math>עם הסדר המילוני. אם לכל שני איברים <math>aB = \{(1,bx) | x\in A\mathbb{N} \}</math> מתקיים אזי <math>[\mathrm{inf}(aB)=(1,b1)</math>, <math>\in R]mathrm{sup}(B)=(2,1)</math>. אם <math>B = \or[{(bx,a1)| x\in R]\mathbb{N} \}</math> אזי <math>R\mathrm{inf}(B)=(1,1)</math> נקרא '''יחס סדר מלא'''ו-<math>\mathrm{sup}(B)</math> לא קיים.
למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא.שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימלייםש-<math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.