==יחסי סדר==
'''הגדרה:''' יחס <math>R </math> על קבוצה <math>A </math> נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם <math>R </math> רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי .
דוגמאות ליחסי סדר חלקי:
*היחס 'קטן-שווה' על המספריםהשלמים*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצותקבוצת החזקה <math>P(\{4,5,100\})</math>*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים
'''הערה:'''
עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי <math>\leq</math> עליה. , נסמן <math>(A,\leq )</math> את הקבוצה עם היחס.
'''הגדרה.:''' דיאגרמת הסה Hesse (או תרשים הסה, Hasse diagram) הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר <math>x</math> מחובר בקשת לאיבר <math>y</math> מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס(כלומר <math>x>y</math>), ובינם אין עוד איברים (כלומר אין <math>z</math> כך ש-<math>x>z>y</math>). נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.
'''הגדרות:''' יהיו <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי על הקבוצה:
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מ-<math>x</math>. לא חייב להתקיים ש-<math>x</math> ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''קטן ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'קטן' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''גדול ביותר''' ביחס ל-<math>R</math> אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, <math>x</math> 'גדול' מכל האיברים. <math>x</math> חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. למשל, הקבוצה <math>B</math> תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של <math>B</math>.
'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצההערה:*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינמלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים שקל להוכיח מתוך תכונת האנטי-x ביחס כלשהו עם סימטריות שאם קיים איבר כלשהו.*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''קטן ביותר''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:הוא יחיד (x,y)\in R</math>. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x למרות שהוא לא חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלהקיים)*, ונכון הדבר גם לגבי איבר <math>x\in A</math> נקרא '''גדול ביותר''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)
הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר קטן ביותר הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים)גורר מינימלי, ונכון הדבר לגבי איבר וכן גדול ביותרגורר מקסימלי.אבל לא להיפך!
הערה: קטן ביותר <math>\leftarrow</math> מינימלי, וכן גדול ביותר <math>\leftarrow</math> מקסימלי, ולא להיפך! צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה <math>A=\{1,2,...,10\}</math> מהם האיברים המינימלים והמקסימליםהמינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימלים והמקסימליםהמינימליים והמקסימליים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?
===תרגיל===
תהא <math>A</math> קבוצה. חשב מצא את הקבוצה <math>|\{ R\subseteq A\times A:R\text{ is an order relation} \land \forall a\in A. a \text{ is maximally maximal and minimallyminimal} \}|</math>
====פתרון====
כיוון ראשון: כל יחס סדר <math>R</math> מקיים <math>I_A\subseteq R</math>.
כיוון שני: יהי <math>(a,b) \in R</math>, אזי כיון ש- <math>a</math> מקסימלי נובע <math>b=a</math> ולכן <math>(a,b)=(a,a)
\in I_A</math> כדרוש.
==חסמים==
'''הגדרות.''' יהיו <math>A </math> קבוצה, <math>B \subseteq A</math> תת קבוצה המוכלת בה וR ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי:*חסם מלעיל של <math>B </math> הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
*החסם העליון (סופרמום) של <math>B </math> הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{sup}(B)</math>*החסם התחתון (אינפימום) של <math>B </math> הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>\mathrm{inf}(B)</math>
=== דוגמאות ===
'''דוגמאדוגמה''':
עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא
<math>\cup bigcup _{i\in I} A_i </math> '''דוגמא.'''
'''דוגמה''':
נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:
<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),\\(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>
(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)
נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של <math>B </math> הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא <math>2 </math> ולכן הוא החסם העליון של <math>B</math>. אין חסם מלרע ל-<math>B </math> ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.
'''הגדרה.''' יהי <math>R </math> יחס סדר חלקי על <math>A</math>. אם לכל שני איברים <math>a,b בA \in A</math> מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי <math>R </math> נקרא '''יחס סדר מלא'''.
למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא.
שימו לב כי זו דוגמא דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.