שינויים

'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''* אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים <math>\{a_1,\dots,a_n\}</math> מתקיים אי השיוויון <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}</math>. יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני.* הלמה של פקטה" (Fekete: אם <math>a_n </math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n/}{n }</math> יש גבול במובן הרחבהשווה ל<math>\inf a_n</math>).* סומביליות צ'זרו המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>.* קירוב Stirling: <math>\Gamma(n+1)=n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n</math>.* סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן אולם הן לא). סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.* סומביליות אבל (משפט Tauber: אם הסכום הטור <math>\sum a_n קיים </math> סכים-Abel ו<math>a_n=o(\frac1n)</math> אז גם <math>\sum_sum_n a_n=\lim_{xr\rightarrow -to 1^-} \sum sum_{n=0}^\infty a_n r^n</math>.* הלמה של Reimann-Lebesgue: אם <math>f\in \mathcal{R}([a,b])</math> אז <math>\int_a^b f(x)\sin(nx)dx,\int_a^b f(x)\cos(nx)dx\overset{\left|n\right|\to\infty}{\longrightarrow}0</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה(כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים). == תורת החבורות == * יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.