הבדלים בין גרסאות בדף "תרגילי חובה לא סטנדרטיים"

גרסה אחרונה מ־04:57, 22 בדצמבר 2016

תרגילים שעלולים לשכוח ולא כדאי:

אלגברה לינארית

חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה
אין מטריצה אנטי-סימטרית הפיכה מממד אי-זוגי

חשבון אינפיניטיסימלי

חשבון במשתנה ממשי יחיד

אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים $\{a_1,\dots,a_n\}$ מתקיים אי השיוויון $\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}$ . יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני.
הלמה של Fekete: אם $a_n$ סדרה תת-אדיטיבית, אז ל- $\frac{a_n}{n}$ יש גבול במובן הרחב השווה ל $\inf a_n$ ).
המשפט של Stolz-Cesàro: אם $b_n$ סידרה חיובית כך ש $\sum_n b_n=\infty$ אז לכל סידרה $a_n$ , $\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}$ .
קירוב Stirling: $\Gamma(n+1)=n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n$ .
סומביליות Abel: אם הסכום $\sum_n a_n$ קיים אז גם $\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n$ קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.
סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.
משפט Tauber: אם הטור $\sum a_n$ סכים-Abel ו $a_n=o(\frac1n)$ אז $\sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n$ .
הלמה של Reimann-Lebesgue: אם $f\in \mathcal{R}([a,b])$ אז $\int_a^b f(x)\sin(nx)dx,\int_a^b f(x)\cos(nx)dx\overset{\left|n\right|\to\infty}{\longrightarrow}0$ (כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים).

תורת החבורות

יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.

@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 == חשבון אינפיניטיסימלי ==
-* אי-שוויון הממוצעים
+'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''
-* "הלמה של פקטה" (אם a_n סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-a_n/n יש גבול במובן הרחב).
+* אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים <math>\{a_1,\dots,a_n\}</math> מתקיים אי השיוויון <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}</math>. יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני.
-* הממוצע האריתמטי-גאומטרי
+* הלמה של Fekete: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).
-* סומביליות צ'זרו (לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן לא).
+* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>.
-* סומביליות אבל (אם הסכום sum a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\rightarrow -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).
+* קירוב Stirling: <math>\Gamma(n+1)=n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n</math>.
+* סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.
+* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.
+* משפט Tauber: אם הטור <math>\sum a_n</math> סכים-Abel ו<math>a_n=o(\frac1n)</math> אז <math>\sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n</math>.
+* הלמה של Reimann-Lebesgue: אם <math>f\in \mathcal{R}([a,b])</math> אז <math>\int_a^b f(x)\sin(nx)dx,\int_a^b f(x)\cos(nx)dx\overset{\left|n\right|\to\infty}{\longrightarrow}0</math> (כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים).
 == תורת החבורות ==
 * יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.

הבדלים בין גרסאות בדף "תרגילי חובה לא סטנדרטיים"

גרסה אחרונה מ־04:57, 22 בדצמבר 2016

אלגברה לינארית

חשבון אינפיניטיסימלי

תורת החבורות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים