שינויים
/* הרצאה 12 */
==הרצאה 12==
תהיינה <math>f,g</math> גזירות בנקודה x.*נוסחאות <math>(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}= cf'(x)</math>*<math>(f+g)'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)</math>*<math>(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =</math>:<math>=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) </math>:שימו לב ש<math>g(x+h)\to g(x)</math> כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx. תהי f גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g הגזירהב<math>f(x_0)</math>:*(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.*אמנם <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>f(x_n)\neq f(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>f(a_n)=f(x_0)</math> אזי <math>\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>f'(x_0)=0</math>.*לכן <math>g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0</math>.*כמו כן, <math>\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>*סה"כ <math>(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.
==הרצאה 13==
*פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.
