שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס

הוסרו 7,861 בתים, 09:40, 23 בנובמבר 2020
/* נושאי ההרצאות */
[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים מהעבר=
*[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשע"ט]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשע"ט]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]]
**[[מדיה:20EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
=נושאי ההרצאותקבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים ב XI (וב XI מגישים!)=שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.==הרצאה 1==*מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.*שורש 2, 0.999.*חזקות.*לוגריתמים.*מבוא לגבולות שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (שיטות אלגבריות: כפל בצמודהתבנית תהיה זהה, הוצאת חזקה משמעותיתהמספרים לא בהכרח).**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>
==הרצאה 2==
*כמתים, שלילת כמתים.
*חסמים.
==הרצאה 3==
*ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
*הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
==הרצאה 4==
*גבול הוא יחיד[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex1.pdf|תרגיל 1]]**נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex2.pdf|תרגיל 2]]*הסדרה הקבועה[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex3.pdf|תרגיל 3]]*כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex4.pdf|תרגיל 4]] *אריתמטיקה (חשבון) גבולות[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex5.pdf|תרגיל 5]]**(אי שיוויון המשולש[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex6.)pdf|תרגיל 6]]**סכום[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex7.pdf|תרגיל 7]]**מכפלה[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex8.pdf|תרגיל 8]]**חלוקה ([[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex9.pdf|תרגיל לבית)9]] =נושאי ההרצאות= [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-uvgGra7BmwUGKi21DW9SOX פלייליסט של כל הסרטונים הקצרים]
==הרצאה 5==*התכנסות במובן הרחב[https://www.*אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכוןyoutube.*סנדביץ' וחצי סדנביץ'.*<math>a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0<com/math>*חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.playlist?list=PLzSjdxrZD_hltzlnH9FvT-1NICRjcASiu פלייליסט של ההרצאות תשפ"א]
==הרצאה 6==
*אינדוקציה.
*ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>
*מבחן המנה (ללא הוכחה).
*הגבול של השורש הn של n.
==הרצאה 7הרצאות 1-2 חסמים==*סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.*[[המספר e]].*<math>2<e<4</math>.*אם <math>a_n\to\infty</math> אזי <math>\left(פרק 1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>**<math>ב[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+חדוא 1</math>, כאשר <math>[a_n- ארז שיינר|קישור הבא]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.**<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}<https://math>**שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לecalc1.*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\rightwiki.com)^{a_n}\to e</math>**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).**כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n== הרצאות 3-1)}</math>7 סדרות==**<math>a_n^{b_n}=\leftפרק 2 ב[[\left(חדוא 1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\rightארז שיינר|קישור הבא]]^{ b_n\cdot (a_n-1)}<https:/math>/calc1.**<math>\left(1+(a_n-1wiki.com)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפסהטיפול בתתי סדרות יהיה חלקי יותר בקורס הזה.
*הרצאה 3 - הגדרת הגבול במובן הצר והרחב
*הרצאה 4 - תכונות של הגדרת הגבול ומבוא לחשבון גבולות
*הרצאה 5 - כלים לחישוב גבולות
*הרצאה 6 - חשבון גבולות מורחב
*הרצאה 7 - סדרות מונוטוניות והמספר e
*דוגמא:==הרצאות 8-10 פונקציות==**<math>\lim\left(\frac{n+פרק 4 ב[[חדוא 1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\leftארז שיינר|קישור הבא]] (\frac{n+1}{nhttps://calc1.math-2}-1\rightwiki.com)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>
==*הרצאה 8==*פונקציות וגבולות - הגדרות הגבול של פונקציות, פונקציה לפי קושי ולפי היינה.==*הרצאה 9==*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>הפונקציות הטריגונומטריות**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)הרצאה 10 -sin^2(x)</math>רציפות
==הרצאות 11-13 גזירות==
פרק 5 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)
*הרצאה 11 - הגדרת הנגזרת ונגזרת של פונקציות אלמנטריות
*הרצאה 12 - נוסחאות הגזירה
*הרצאה 13 - נגזרת ההופכית
*==הרצאות 14-17 חקירה==פרק 6 ב[[קובץ:Sin(x)_over_x.pngחדוא 1 - ארז שיינר|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/xקישור הבא]]**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולשhttps:**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>calc1.***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>wiki.**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:**<math>1<\frac{x}{sin(xcom)}<\frac{1}{cos(x)}</math>**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
*הרצאה 14 - משפט ערך הביניים
*הרצאה 15 - ויירשטראס, פרמה, רול, לגראנז', קושי
*הרצאה 16 - הוכחת משפט קושי, קשר בין הנגזרת למונוטוניות
*הרצאה 17 - כלל לופיטל
*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1<=הרצאה 18 פולינום טיילור==פרק 6 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/math>.*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sinשיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (x)}{x}=0<https://calc2.math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף-wiki.com)
==הרצאה 10==*תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)**סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.**אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.פולינום טיילור ושארית לגראנז' בלבד
==הרצאה 19 הקדמה לאינטגרלים==
פרק 3 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)
*גבול אינטגרל מסוים ולא מסויים, המשפט היסודי של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.*רציפות.*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.**הוכחה:**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.החדו"א
==הרצאות 20-21 שיטות אינטגרציה==
פרק 1 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)
*מיון אי רציפות.==הרצאה 22 סכומי רימן==**רציפות פרק 2 ב[[88- הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.**סליקה math- הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודהwiki.**קפיצתית (מין ראשוןcom) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
==הרצאה 11=====הגדרת הנגזרת===*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>*<math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.*אם f גזירה בנקודה, היא עבור פונקציה רציפה בנקודה:סכומי הרימן מתכנסים לאינטגרל המסויים**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>אורך עקומה, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.נפח גוף סיבוב
===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות=הרצאות 23-24 אינטגרל לא אמיתי==*טריגו:**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1פרק 4 ב[[88-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^133 חשבון אינפיניטיסימלי 2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)<שיינר/math>**באופן דומה <math>תקציר הרצאות|קישור הבא]] (cos(x))'=-sin(x)</math>*לוגhttps:**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math>***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>calc2.)**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>*אקספוננט:**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>wiki.*חזקה:**<math>(x^\alphacom)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.***בפרט: ***<math>(1)'=0</math>***<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>***<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
==הרצאה 12==*נוסחאות הגזירה.==הרצאה 13==*פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.==הרצאה 14==*משפט ערך הביניים.*תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).*משפטי ויירשטראס.==הרצאה 15==*משפט פרמה.*משפט רול.*משפט לגראנז'.*משפט לגראנז' המוכלל.==הרצאה 16==*כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).*כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.==הרצאה 17==*פולינום טיילור.*שארית לגראנז' בפולינום טיילור.==הרצאה 18==*אינטגרל - מסויים ולא מסוים.*הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.==הרצאה 19==*אינטגרציה בחלקים.*שיטת ההצבה.==הרצאה 20==*אינטגרל על פונקציה רציונאלית.==הרצאה 21==*סכומי רימן.*אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.==הרצאה 22==*אינטגרלים הגדרה ומבחני השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים.*מבחני התכנסות.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מיוחד:השוואה_ניידת/78630...86306