[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים מהעבר=
*[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשע"ט]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשע"ט]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]]
**[[מדיה:20EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]]
=נושאי ההרצאותקבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים ב XI (וב XI מגישים!)=שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.==הרצאה 1==*מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.*שורש 2, 0.999.*חזקות.*לוגריתמים.*מבוא לגבולות שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (שיטות אלגבריות: כפל בצמודהתבנית תהיה זהה, הוצאת חזקה משמעותיתהמספרים לא בהכרח).**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>
==הרצאה 2==
*כמתים, שלילת כמתים.
*חסמים.
==הרצאה 3==
*ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
*הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
==הרצאה 4==
*גבול הוא יחיד[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex1.pdf|תרגיל 1]]**נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex2.pdf|תרגיל 2]]*הסדרה הקבועה[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex3.pdf|תרגיל 3]]*כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex4.*אריתמטיקה (חשבון) גבולות.**(אי שיוויון המשולש.)**סכום.**מכפלה.**חלוקה (pdf|תרגיל לבית).4]]
==הרצאה 5==*התכנסות במובן הרחב[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex5.*אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.*סנדביץ' וחצי סדנביץ'.*<math>a_n\to 0 \iff pdf|a_n|\to 0</math>*חסומה כפול אפיסה היא אפיסה. ==הרצאה 6==*אינדוקציה.*ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):**חסומה כפול אפיסה = אפיסה**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה**<math>\infty+\infty=\infty</math>**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>**<math>\infty^\infty=\infty</math>**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>**<math>0^\infty = 0</math>**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.**אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>*מבחן המנה (ללא הוכחה).*הגבול של השורש הn של n. ==הרצאה 7==*סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.*[[המספר eתרגיל 5]].*<math>2<e<4</math>.*אם <math>a_n\to\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>**<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_nמדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex6.pdf|תרגיל 6]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.**<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_nמדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex7.pdf|תרגיל 7]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math>**שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).**כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם. *אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex8.**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס. *דוגמא:**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math> ==הרצאה pdf|תרגיל 8==*פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.==הרצאה 9==*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math> ]]*[[קובץמדיה:Sin(x)_over_xBIU_Eng_Hedva1_2021a_ex9.pngpdf|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/xתרגיל 9]]**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
=נושאי ההרצאות=
*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1<[https:/math>.*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוףwww.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-uvgGra7BmwUGKi21DW9SOX פלייליסט של כל הסרטונים הקצרים]
==הרצאה 10==*תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)**סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו[https://www.**אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרהyoutube.*מסקנה: גבול com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hltzlnH9FvT-1NICRjcASiu פלייליסט של פונקציה קיים בנקודה אםההרצאות תשפ"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.א]
*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=הרצאות 1,\lim_{x\to -2}g(x)חסמים=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq =פרק 1</math>.*רציפות.*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> [[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.*הרכבת רציפותhttps: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>calc1. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>-wiki.**הוכחה:**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_ncom)\to f(x_0)</math>**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.
*מיון אי רציפות.**רציפות == הרצאות 3- הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.7 סדרות==**סליקה פרק 2 ב[[חדוא 1 - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודהארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.**קפיצתית (מין ראשון) math- הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודהwiki.**עיקרית (מין שניcom) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי, הטיפול בתתי סדרות יהיה חלקי יותר בקורס הזה.
==*הרצאה 11=====3 - הגדרת הנגזרת===הגבול במובן הצר והרחב*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)הרצאה 4 -f(x)}{h}</math>תכונות של הגדרת הגבול ומבוא לחשבון גבולות*<math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)הרצאה 5 -f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>כלים לחישוב גבולות**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)הרצאה 6 -f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>**לפי אריתמטיקה של חשבון גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>מורחב**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)הרצאה 7 -f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.סדרות מונוטוניות והמספר e
===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===*טריגו:**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1הרצאות 8-cos(h)}{h}10 פונקציות=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-פרק 4 ב[[חדוא 1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sinארז שיינר|קישור הבא]] (x)</math>*לוגhttps:**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math>***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>calc1.)**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>*אקספוננט:**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>wiki.*חזקה:**<math>(x^\alphacom)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.***בפרט: ***<math>(1)'=0</math>***<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>***<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
==*הרצאה 12=====נגזרת 8 - הגדרות הגבול של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות===תהיינה <math>f,g</math> גזירות בנקודה x.פונקציה לפי קושי ולפי היינה*<math>(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)הרצאה 9 -cf(x)}{h}= cf'(x)</math>הפונקציות הטריגונומטריות*<math>(f+g)'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)הרצאה 10 -f(x)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)</math>*<math>(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =</math>:<math>=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) </math>*שימו לב ש<math>g(x+h)\to g(x)</math> כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx.רציפות
==הרצאות 11-13 גזירות==
פרק 5 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)
===נגזרת של הרכבה===תהי f גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g הגזירה ב<math>f(x_0)</math>:*<math>(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))הרצאה 11 -g(f(x_0))}{x-x_0}</math>*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.*אמנם <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>f(x_n)\neq f(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> הגדרת הנגזרת ונגזרת של <math>x_n</math> עבורה <math>f(a_n)=f(x_0)</math> אזי <math>\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>f'(x_0)=0</math>.פונקציות אלמנטריות*לכן <math>g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0</math>.*כמו כן, <math>\frac{g(f(a_n))הרצאה 12 -g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.נוסחאות הגזירה*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(x_n))הרצאה 13 -g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>*סה"כ <math>(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.נגזרת ההופכית
===נגזרת של חזקה=הרצאות 14-17 חקירה==*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>פרק 6 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>*דוגמאhttps: חישוב הנגזרת של <math>x^x<//calc1.math>-wiki.com)
===נגזרת מנה===*הרצאה 14 - משפט ערך הבינייםתהיינה f*הרצאה 15 - ויירשטראס,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:פרמה, רול, לגראנז', קושי*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=הרצאה 16 -\frac{1}{x^2}</math>הוכחת משפט קושי, קשר בין הנגזרת למונוטוניות*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{הרצאה 17 -g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>כלל לופיטל
==הרצאה 1318 פולינום טיילור==*הגדרה:*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>פרק 6 ב[[a,b]<88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)<שיינר/math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}fתקציר הרצאות|קישור הבא]] (x)=f(a)<https://calc2.math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(xwiki.com)=f(b)</math>
*פולינום טיילור ושארית לגראנז' בלבד
*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).==הרצאה 19 הקדמה לאינטגרלים==**פונקציה <math>f:פרק 3 ב[a,b]\to [c,d]<88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,dשיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y<https://calc2.math> אם"ם <math>x=f^{-1}(ywiki.com)</math>
*אינטגרל מסוים ולא מסויים, המשפט היסודי של החדו"א
*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{==הרצאות 20-21 שיטות אינטגרציה==פרק 1}:ב[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.**הוכחה:**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{88-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)<133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/math>**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L<שיינר/math>. **אזי <math>fתקציר הרצאות|קישור הבא]] (x_n)=y_n\to y_0<https:/math>.**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>calc2.**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0wiki.com)</math>.
==הרצאה 22 סכומי רימן==
פרק 2 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)
*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>. :אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>עבור פונקציה רציפה סכומי הרימן מתכנסים לאינטגרל המסויים**הוכחה:**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\ to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>אורך עקומה, נפח גוף סיבוב
*פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית==הרצאות 23-24 אינטגרל לא אמיתי==פרק 4 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)
==הרצאה 14==*משפט ערך הביניים.*תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).*משפטי ויירשטראס.==הרצאה 15==*משפט פרמה.*משפט רול.*משפט לגראנז'.*משפט לגראנז' המוכלל.==הרצאה 16==*כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).*כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.==הרצאה 17==*פולינום טיילור.*שארית לגראנז' בפולינום טיילור.==הרצאה 18==*אינטגרל - מסויים ולא מסוים.*הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.==הרצאה 19==*אינטגרציה בחלקים.*שיטת ההצבה.==הרצאה 20==*אינטגרל על פונקציה רציונאלית.==הרצאה 21==*סכומי רימן.*אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.==הרצאה 22==*אינטגרלים הגדרה ומבחני השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים.*מבחני התכנסות.
