שינויים
/* הודעות */
הקבוצה של עומר והקבוצה של אריאל בראשון בבוקר בכיתה 53 עם עומר יחסים ויחסי שקילות.
הקבוצות של אריאל בראשון ערב ושלישי בכיתה 2 אינדוקציה ויחסים כמה שנספיק..
===השלמת מה שלא הספקנו בתרגול===
====שאלה====
תהי <math>f:\mathbb{Z}_a\to \mathbb{Z}_b</math> המוגדרת ע"י <math>f([k]_a)=[k]_b</math> (עבור <math>a,b\geq 2</math>). מה הקריטריון לכך שהיא פונקציה?
'''במסגנון אחר:''' תהי <math>f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_b</math> פונקציה המוגדרת ע"י <math>f(k)=[k]_b</math> (עבור <math>a,b\geq 2</math>). מה הקריטריון לכך שהיא מוגדרת היטב על קבוצת המנה <math>\mathbb{Z}_a</math>?
=====תשובה=====
נלך לפי הסגנון השני, ונטען: <math>f</math> מוגדרת היטב על קבוצת המנה <math>\mathbb{Z}_a</math> אם ורק אם <math>b|a</math> (כלומר, קיים <math>m\in \mathbb{Z}:a=mb</math>). הוכחה:
'''משמאל לימין:''' נניח שאכן <math>b|a</math> (כלומר, <math>\exists m\in \mathbb{Z}:a=mb</math>), ונוכיח שהיא מוגדרת היטב, כלומר שהיא מכבדת את יחס השקילות מודולו <math>a</math>. ניזכר ביחס השקילות מודולו <math>a</math> שאומר שלכל <math>k_1,k_2\in \mathbb{Z}</math> מתקיים: <math>k_1 \stackrel{a}{\sim} k_2\iff a|k_1-k_2</math>, ומה שצריך להוכיח זה שאם <math>k_1 \stackrel{a}{\sim} k_2</math> אז <math>f(k_1)=f(k_2)</math>. לפי ההגדרה <math>f(k_1)=[k_1]_b,f(k_2)=[k_2]_b</math>, ולכן מה שצריך להוכיח זה את שיוויון מחלקות השקילות. אבל שתי מחלקות שקילות שוות אם ורק אם הנציגים שקולים, לכן מה שצריך להוכיח זה ש <math>k_1 \stackrel{b}{\sim} k_2</math> שזה שקול ללהוכיח <math>b|k_1-k_2</math>. נסכם: נתון לנו ש <math>b|a</math>, ובנוסף הנחנו ש- <math>k_1 \stackrel{a}{\sim} k_2</math> כלומר, <math>a|k_1-k_2</math>. וצריך להוכיח <math>b|k_1-k_2</math>. הדבר נובע ישירות מכך שהיחס "מחלק את" הוא טרנזיטיבי: אם <math>b|a</math> אז <math>\exists m\in \mathbb{Z}:a=mb</math>, ואם <math>a|k_1-k_2</math> אז <math>\exists t\in \mathbb{Z}:k_1-k_2=ta</math>, ולכן בסה"כ: <math>\exists tm\in \mathbb{Z}:k_1-k_2=(tm)\cdot b</math> מה שאומר <math>b|k_1-k_2</math>.
'''מימין לשמאל:''' נלך בשיטה של להוכיח אם לא שמאל אז לא ימין. נניח ש<math>b</math> לא מחלק את <math>a</math> ונראה שהפונקציה לא מכבדת את יחס השקיילות מודולו <math>a</math>. מהעובדה ש<math>b</math> לא מחלק את <math>a</math> נובע ש-<math>a</math> לא שקול ל<math>0</math> מודולו <math>b</math>. אבל כמובן <math>a</math> שקול ל<math>0</math> מודולו <math>a</math>, ולכן מצאנו שני מספרים שקולים מודולו <math>a</math> כלומר, <math>a \stackrel{a}{\sim} 0</math>, שהפונקציה שולחת אותם לשני איברים שונים: <math>f(a)=[a]_b\neq [0]_b=f(0)</math>, ולכן הפונקציה לא מכבדת את יחס השקילות.
==תרגילי בית==
