=== ערך אמת ===
'''ערך אמת''' הוא אחת משתי האפשרויות - אמת או שקר, שמסמנים לשם הקיצור T ו-F (מ-True ו-False, כמובן). בתאור מדוייק ומכריע של העולם, כל אטום (מפורט מספיק) מקבל ערך אמת. או שתגמור מהצלחת, או שלא. או שיבוא שוטר, או שלא. אם תגמור מהצלחת, אז ערך האמת של הפסוק "תגמור מהצלחת" הוא אמתT, ואחרת, הוא שקרF. זו הדרך לחבר את המציאות, את תמונת העולם, עם הפסוקים הלוגיים הפורמליים.
כאשר משייכים לכל אטום של פסוק לוגי ערך אמת, אפשר לחשב את ערך האמת של הפסוק עצמו. לשם כך יש להכיר את ה'''קשרים''' הלוגיים הבסיסיים. === הצרנת תכונות === הצרן את הפסוקים הבאים:...(דוגמאות מהחיים. דוגמאות מהחיים המתמטיים). == פסוקים וקשרים == '''וגם''' הוא קשר כזהלוגי: אפשר לומר משפטים כמו "התפוח הזה אדום, וגם הצלחת ירוקה", שההצרנה שלהם היא במבנה "A וגם B". אי אפשר לומר "התפוח הזה אדום וגם", משום ש"וגם" הוא '''קשר בינארי''' - הוא מחבר שני אטומים. ערך האמת של הפסוק "A וגם B" הוא אמתT, רק כאשר גם A וגם B הם אמתT. בכל מקרה אחר, ערך האמת הוא שקרF.
'''דוגמא'''. כשפוליטיקאי מבטיח "לא נעלה מסים וגם נגדיל את ההוצאה לחינוך" (שצורתו "(לא A) וגם B"), הוא יצטרך לקיים שתי הבטחות: גם לא A, וגם B.
כבר פגשנו את קשר השלילה, '''לא''', שהוא ה'''קשר האונארי''' היחיד. הפסוק המתקבל משלילת A הוא, כמובן, "לא A"; ערך האמת שלו הפוך לזה של A: אם "יבוא שוטר" הוא פסוק אמיתי, אז "לא יבוא שוטר" הוא פסוק שקרי, ולהיפך.
קשר נוסף הוא '''או''': גם הוא קשר בינארי, המאפשר לבנות את הפסוק "A או B". פסוק כזה מקבל ערך אמת T אם אחת ההצהרות קיבלה ערך אמתT, או שתיהן.
'''דוגמא'''. כשפוליטיקאי מבטיח "לא נעלה מסים, או שנגדיל את ההוצאה לחינוך" (שצורתו "(לא A) או B"), הוא יוכל להסתפק בקיום אחת ההבטחות.
הקשר '''אם-אז''' בונה משפטים כמו "אם נגדיל את ההוצאה לחינוך, נעלה מסים": "אם A אז B". אם ערך האמת של A הוא T, אז ערך האמת של "אם A אז B" שווה לערך האמת של B: אם מבטיחים, ההצהרה "אם הבטחתי אז אקיים" נכונה אם אקיים, ולא נכונה אם לא אקיים. לעומת זאת, אם לא הבטחתי, ההצהרה נכונה בכל מקרה: כשערך האמת של A הוא F, ערך האמת של "אם A אז B" הוא T בלי קשר לערך האמת של B. זהו הסכם חשוב, גם אם קצת קשה לקבל אותו בתחילה. נראה עוד כמה דוגמאות.
* "אם לסבתא היו גלגלים היא היתה אוטובוס". זהו פסוק מהצורה "אם A אז B", כאשר A="לסבתא יש גלגלים", ו-B="סבתא היא אוטובוס". בהנחה ששתי הטענות שקריות, הפסוק עצמו הוא נכון: '''אם''' היו לסבתא גלגלים אז היא היתה אוטובוס, אבל אין לה, כך שזה בכלל לא חשוב אם היא אוטובוס או לא; הפסוק אמיתי.
'''תרגיל'''. בדוק שאם ערך האמת של B הוא T, אז ערך האמת של "אם A אז B" הוא תמיד T. קבע מתי ערך האמת של "אם A אז B" הוא T, אם ידוע שערך האמת של B הוא F.
'''דוגמא'''. הפסוק "אם יש עננים אז יורד גשם" אינו אמיתי, משום שיתכן שיהיו עננים בלי שירד גשם. לעומת זאת הפסוק "אם יורד גשם אז יש עננים" הוא אמיתי. את הפסוק השני, האמיתי, אפשר לנסח בצורות נוספות: "יש עננים אם יורד גשם" (מוכרחים להיות עננים אם יורד גשם), וגם "יורד גשם רק אם יש עננים" (כל אימת שיורד גשם, מוכרחים להיות עננים).
הצרנהקשריםטבלאות אמתנסכם: הפסוקים "אם A אז B", טאוט"B אם A" ו"A רק אם B" אומרים אותו הדבר., סתירות
לכן, במקום להגיד "אם B אז A, וגם אם A אז B", אפשר לומר "A אם B, ו--> A רק אם תאור העולם אינו מספיק מדוייקB", נשארות לכל אטום שתי אפשרויותובקיצור "A אם ורק אם B". זהו הקשר הבינארי האחרון שנציג בשם: '''אם ורק אם'''. ערך האמת של "A אם ורק אם B" הוא T בדיוק כאשר ערכי האמת של A ושל B שווים.'''דוגמא'''. משולש הוא ישר זווית ושווה שוקיים אם ורק אם מדובר למשל בשלושה אטומים, אז יש שמונה עולמות אפשרייםלו שתי זוויות של 45 מעלות.
=== סימוני הקשרים ===
כמתיםלקשרים הסטנדרטיים יש גם סימון סטנדרטי, שיש להכיר ולזכור. חוקי דה-מורגן* במקום "לא A" כותבים <math>\ \sim A</math> או <math> \neg A</math>.מודוס פוננס* במקום "A וגם B" כותבים <math>\ A \wedge B</math>.שלילה* במקום "A או B" כותבים <math>\ A \vee B</math>.הוכחה* במקום "אם A אז B" כותבים <math>\ A \rightarrow B</math>; מותר גם <math>\ B \leftarrow A</math>.שגיאות* במקום "A אם ורק אם B" כותבים <math>\ A \leftrightarrow B</math>.
=== פסוקים מורכבים ===
את הקשרים שפגשנו (לא, וגם, או, אם-אז, אם-ורק-אם) אפשר להפעיל לא רק על אטומים, אלא גם על פסוקים.
נושאי הסדנא:'''דוגמא'''. אם אדם הוא מאושר אם ורק אם הוא לומד דברים חדשים, אז אדם שאינו לומד דברים חדשים אינו מאושר. ("אם (A אם ורק אם B), אז (אם לא B, אז לא A)").
עד כאן לא הגדרנו מהו "פסוק". פסוק הוא בסופו של דבר רצף של תווים, שכל אחד מהם הוא או אחד האטומים (מקובל להניח שעומדת לרשותנו אספקה אינסופית של אטומים), או אחד מסימני הקשרים, או אחד הסימנים המיוחדים "(" ו")" שתפקידם להבטיח קריאה חד-משמעית של הפסוק. לדוגמא, הפסוק <math>\ A \wedge B \vee C</math> אינו ניתן לקריאה באופן ברור: אין לדעת האם הכוונה היא ל-<math>\ (A \wedge B) \vee C</math> או ל-<math>\ A \wedge (B \vee C)</math>. ('''תרגיל''': מצא ערכי אמת של A,B,C שיתנו ערכי אמת שונים לשני הפסוקים האחרונים). הכלל במקרה של ספק הוא פשוט: עדיף לבזבז מאה זוגות סוגריים מיותרים, מאשר להשמיט זוג סוגריים חיוני אחד.
כמובן שלא כל רצף של סימנים הוא פסוק. "<math>\ )A\vee\neg\wedge)BC\neg</math>" אינו פסוק. אפשר להגדיר פסוקים "באינדוקציה על המבנה":
* כל פסוק הוא או אטום, או בצורה <math>\ \neg x</math> כאשר x הוא פסוק, או בצורה <math>\ (x)R(y)</math>, כאשר R הוא אחד מסימני הקשרים הבינאריים, ו-x,y הם פסוקים. הגדרה זו היא אחת מאבני היסוד של '''הלוגיקה הפסוקית''', המטפלת בפסוקים באופן פורמלי.
'''תרגיל'''. הוכח, באינדוקציה על אורך הפסוק, שאפשר לבנות מכונה שתזהה האם רצף של תווים הוא פסוק או לא (הנח שהמכונה יודעת לזהות אטומים).
== טבלאות אמת ==
טבלאות אמת. 8 אפשרויות ל-3 אטומים.
טאוטולוגיה. סתירה. פסוקים שקולים.
=== חוקי דה-מורגן ===
=== שלילה ===
== כמתים ==
(לכל, קיים, קיים יחיד, קיימים אינסוף) + כימות יחסי (קיים אפסילון גדול מאפס, לכל אפסילון גדול מאפס)
== הוכחה ==
מודוס פוננס
סילוגיזם תקין ולא תקין
הוכחה בדרך השלילה, הפרכה על-ידי דוגמא נגדית.
== שגיאות נפוצות ==
# הצרנה, דוגמאות מהחיים, דוגמאות מהחיים המתמטיים
# קשרים: או, וגם
# טבלאות אמת
# טאוטולוגיות, סתירות, חוקי דה-מורגן
# מודוס פוננס, סילוגיזם תקין
# כמתים (לכל, קיים, קיים יחיד, קיימים אינסוף) + כימות יחסי (קיים אפסילון גדול מאפס, לכל אפסילון גדול מאפס)
# שלילת פסוקים, הוכחה בדרך השלילה, הפרכה על-ידי דוגמא נגדית.
# כתיבת הוכחה
# מציאת שגיאות בהוכחות
= דגשים, דוגמאות, הערות ותרגילים =
== אינדוקציה ==== קשרים =חומר נוסף =
*בניסוי מפורסם בתורת ההחלטות, מציגים לנבדק ארבעה כרטיסים שבגבם הסימנים A, P, 2, 3. על כל כרטיס יש אות ומספר. אלו כרטיסים יש להפוך על-מנת לבדוק את הטענה "אם בצד אחד של הכרטיס יש אות ניקוד (AEIOU) אז בצידו האחר יש מספר זוגי?" רוב גדול של האנשים עונים שיש להפוך את הכרטיס הראשון והשלישי. מה התשובה הנכונה?
*דוגמא להמחיש ששקר גורר כל דבר; ילד הרואה כלבה נחמדה מבקש מההורים שלו גור כלבים. ההורים היודעים שהכלבה מסורסת מבטיחים לו "אם הכלבה תמליט, תקבל גור אחד".
== טבלאות אמת ==
== טאוטולוגיות ==
== מודוס פוננס ==
== כמתים ==
אפשר להיעזר בספר של ליניאל ופרנס לפרק זה.