את החשיבות בזיהוי הפעולה האחרונה נוכל להסביר כשנגיע לשלילה של פסוקים.
=== שקילות אקסיומות ופסוקים אמיתיים ===
לפסוקים שיש בהם כמתים אי אפשר לבנות טבלאות אמת, משום שלצד האטומים המקבלים רק שני ערכי אמת אפשריים, יש בהם משתנים העשויים לעבור על-פני מספר אינסופי של אפשרויות. לכן הלוגיקה המטפלת בפסוקים עם כמתים (הנקראת "לוגיקה מסדר ראשון") מורכבת יותר מן הלוגיקה הפסוקית, ויש לה יכולת ביטוי רחבה יותר. גם בלוגיקה זו אומרים ששני פסוקים <math>\ \varphi, \psi</math> הם שקולים אם <math>\ \varphi \leftrightarrow \psi</math> מקבל ערך אמת לכל הצבה של המשתנים המעורבים.
'''פסוק אמיתי''' הוא כזה שמתקיים לכל בחירה של הפרדיקטים ולכל הצבה במשתנים. חלק מן הפסוקים האמיתיים נחשבים ל'''אקסיומות''' של כל שפה מסדר ראשון; לא נכנס כאן לפרטים, שמהם מתפרנסים חוקרי הלוגיקה המתמטית.
'''תרגיל'''. קבע אלו מהפסוקים הבאים הם אמיתיים, כאשר הסימנים "לכל" ו"קיים" פירושם "לכל מספר שלם" ו"קיים מספר שלם". אם הפסוק אינו אמיתי, בחר פרדיקטים ומשתנים המדגימים זאת.
* <math>\ \forall x P(x) \implies \exists x P(x)</math>.
* <math>\ \forall z: P(z) \rightarrow \forall x,y: P(x^2+y^2)</math>.
* <math>\ \exists z: P(z) \rightarrow \exists x,y: P(x^2+y^2)</math>.
* <math>\ (\forall x: P(x) \wedge \forall x: Q(x)) \rightarrow \forall x: (P(x) \wedge Q(x))</math>.
* <math>\ \forall x: (P(x) \wedge Q(x)) \rightarrow (\forall x: P(x) \wedge \forall x: Q(x))</math>.
* <math>\ (\exists x: P(x) \wedge \exists x: Q(x)) \rightarrow \exists x: (P(x) \wedge Q(x))</math>.
* <math>\ \exists x: (P(x) \wedge Q(x)) \rightarrow (\exists x: P(x) \wedge \exists x: Q(x))</math>.
'''תרגיל'''. שכנע את עצמך באמיתיות הפסוקים הבאים:
* <math>\ (\forall x: P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x: P(x) \rightarrow \forall x: Q(x))</math>.
=== משתנים ותחולתם ===
'''תרגיל'''. נאמר שאיבר a של קבוצת מספרים A הוא "חסם עליון" אם הוא גדול מכל איבר אחר בקבוצה. הצרן את הטענה "לקבוצה A יש חסם עליון". הצרן את הטענה "אם יש לקבוצה חסם עליון, אז הוא יחיד".
'''תרגיל'''.
* באחד התרגילים הקודמים היית אמור לאשר שהפסוק <math>\ \forall x P(x) \implies \exists x P(x)</math> הוא אמיתי, אם הכמתים מתייחסים לקבוצת המספרים השלמים. מצא מרחב חילה של הכמתים שעבורו הפסוק אינו אמיתי (חשוב על הפסוק "כל פיל מעופף יודע קרוא וכתוב; מכאן שיש פיל מעופף היודע קרוא וכתוב").
=== שלילת כמתים ===