== הוכחות ==
עד כאן עסקנו במבנה הצורני של טענות: בתרגום לשפה פורמלית, בפסוקים שקולים וכדומה. עיקר העניין במתמטיקה אינו בטענות סתם, אלא בטענות '''נכונות''', ; ולא בטענות נכונות סתם, אלא באלו שאפשר '''להוכיח'''. אם כך, עלינו ללמוד להוכיח טענות: כיצד מוכיחים, כיצד כותבים הוכחה, כיצד בודקים הוכחה, ומהן השגיאות הנפוצות שמהן יש להמנע. התשובה שניתן כאן לשאלות האלה היא חלקית ועל קצה המזלג, ותגע ברעיונות הבסיסיים בלבד. ככל שתלמדו מושגים מתקדמים ותורות חדשות, תלמדו גם טכניקות מתקדמות להוכחת טענות.
פסוק שיש לו הוכחה מתמטית נקרא '''משפט'''. המשפטים מבוססים על משפטים קודמים להם וכן הלאה, עד שמגיעים אל האקסיומות היסודיות. בכל תורה מתמטית יש אקסיומות (למעט הלוגיקה הפסוקית, שבה אין בהן צורך). חלק מן הפסוקים האמיתיים שפגשנו קודם לכן נחשבים ל'''אקסיומות''' בכל מערכת מתמטית.
=== טיעונים תקפים === בלוגיקה הקלאסית מנתחים את ה"טיעון לוגי הינו הלוגי", שהוא אוסף טענות פסוקים (הנחות) וטענה יחידה ופסוק יחיד (מסקנה) הנובעת לוגית מההנחות. טיעון לוגי הוא '''תקף ''' אם המסקנה נובעת לוגית מההנחות, ואינו תקף אחרת. בעת בדיקת תקיפות טיעון יש לוודא כי המסקנה אכן נובעת מההנחות, ולא אם ההנחות שקריות או אמיתיות. מתברר שאפשר לתרגם כל טיעון לוגי אינו תקף אם ורק אם כל ההנחות אמיתיות אולם המסקנה שקרית. דוגמא: *"אם אני גבוהלטיעון בעל מבנה מיוחד, איני מגיע לתקרה. אם איני מגיע לתקרההנקרא '''מודוס פוננס''', אני יכול להוריד את צנצנת העוגיות מהמדף העליון. לכןולכן נסתפק בהצגת המבנה הזה, מכיוון שהיני גבוה, אני יכול להוריד את צנצת העוגיות מהמדף העליון"שהוא החוליה שממנה מחברים כל הוכחה.*"מכיוון ששלוש הינו מספר זוגי, 2 בחזקת שלוש אינו מספר שלם". (שימו לב ששני הטיעונים הינם תקפים, שכן אם ההנחות נכונות המסקנה נובעת מהן, במקרה השני ההנחה כלל אינה נכונה)
=== מודוס פוננס ===