*רוצים להוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים. נניח בשלילה שיש רק מספר סופי של ראשוניים <math>p_1,...,p_n</math>; אז המספר <math>p_1\cdot p_2 \cdots p_n + 1</math> אינו מתחלק באף מספר ראשוני, ולכן הוא מוכרח להיות ראשוני; אבל הוא גדול מכל מספר ראשוני, וזו סתירה. (הוכחה זו נמצאת בספרו בן ה-2300 שנה של אוקלידס, "יסודות").
*רוצים להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונלי (כלומר שבר בעל מונה ומכנה שלמים). נניח בשלילה ששורש שתיים הוא רציונלי. אז קיים שבר מצומצם <math>\frac{p}{q}</math> כך ש<math>\frac{p^2}{q^2}=2</math>. לכן <math>p^2=2q^2</math> לכן <math>p</math> זוגי ולכן הוא מהצורה <math>2p'</math> ולכן מתקיים <math>2p'^2=q^2</math> ולכן <math>q</math> זוגי בסתירה לכך שהשבר היה מצומצם.
*נוכיח שאין מספר רציונלי חיובי מינימלי. נניח בשלילה ש<math>q</math> הינו המספר הרציונאלי הקטן ביותר הגדול מאפס. אזי <math>0<\frac{q}{2}<q</math> הוא מספר רציונאלי, בסתירהלהנחת המינימליות.
=== "בלי הגבלת הכלליות" ===