שינויים

להגדרות יש מבנה אחיד: דבר מסויים נקרא בשם מסויים, אם הוא מקיים תכונה מסויימת. לדוגמא, קבוצה של קופים היא משפחה אם היא מקיימת תכונה מסויימת; ההגדרה אינה יכולה לחול על מה שאיננו קבוצה של קופים; אין משמעות לשאלה "האם אגוז קוקוס זה הוא משפחה", משום שהגדרנו מהי משפחה רק עבור קבוצות של קופים. בהמשך הדרך נוכל גם להגדיר מתי קבוצת אגוזי אגוז קוקוס היא הוא משפחה - ואז, כאשר נתון ש-A היא משפחה, יהיה עלינו להבין מן ההקשר האם מדובר בקבוצה של קופים (שהיא משפחה), או בקבוצה של אגוזי באגוז קוקוס.

ההבחנה בין פרדיקט (שיש לו משתנים) לאטום (שהוא פרידקט ללא משתנים) חלה גם על הגדרות. הגדרה אטומית מנקודת המבט הזו יש שני סוגי הגדרות: * מתאים/לא-מתאים** ההגדרה קובעת אילו עצמים עונים שעצמים (במחלקה מסויימת) העונים על תנאי ההגדרהייקראו בשם מסויים. לדוגמאהגדרה כזו היא למעשה פרדיקט בן משתנה אחד, המקבל ערך אמת T כשמציבים במשתנה עצם העונה לתנאים, וערך אמת F בכל מקרה אחר. למשל, ::::: '''משולש''' הוא מצולע שיש לו שלושה קודקודים; '''או'''::::: מצולע יקרא '''משולש''' אם יש לו שלושה קודקודים.:: (לכאורה צריך היה לומר "מעגל מצולע הוא המקום הגאומטרי של נקודות במרחק קבוע מנקודה קבועהמשולש אם ורק אם יש לו שלושה קודקודים" - ולכן עקום יכול להיות מעגל ויכול ; כשכותבים הגדרה מקובל לנסח בקיצור, משום שממילא מדובר במושג חדש שלא להיות מעגלהיה לו קיום לפני ההגדרה). למעשה :: באותו אופן בדיוק, במקום לדבר על עצם בודד, אפשר לחשוב לדבר על המושג המוגדר הקשר בין שני עצמים (או יותר). למשל, "מעגלאדם x הוא ה'''בעלים''' של רכב y אם הרכב רשום על שמו במשרד התחבורה") כפרדיקט עם . ההגדרה הזו אינה מתייחסת לשאלה האם x הוא בעלים, באופן כללי, אלא רק לקשר בין x ל-y מסויימים. כמובן שעכשיו אפשר להגדיר "x הוא '''בעל רכב''' אם קיים y אשר x הוא הבעלים שלו".* הגדרה מאפיינת** הגדרה כזו דומה לסוג הראשון בכך שהיא מבוססת על פרדיקט, אלא שהיא מנצלת תכונה נוספת שלו: קיום ויחידות. :: נניח שלפרידקט יש משתנה אחד, כלומר, ההגדרה בודקת האם עצם מסויים עונה להגדרה או לא. אבל אם אפשר להוכיח שיש עצם אחד ויחיד העונה להגדרה, אפשר להצמיד לשמו את הא הידיעה: ::::: המספר היחיד a שעבורו הנגזרת של הפונקציה <math>\ a^x</math> שווה לעצמה, נקרא '''בסיס הלוגריתמים הטבעי'''.:: לעצם המקיים הגדרה כזו אפשר לתת סימון מיוחד, שהוא חד-משמעי משום שהעצם '''מוגדר היטב'''. כאן בדיוק נכנסת "עבודת ההכנה" שהזכרנו באחת הפסקאות הקודמות.:: לעתים קרובות רוצים להגדיר מושג לא באופן אוניברסלי, אלא *עבור * עצם מסויים, . למשל "מעגל חוסם של ::::: יהי a משולש . '''המעגל החוסם''' של a הוא המעגל היחיד העובר דרך שלושת הקודקודים של המשולש" a.:: (מהי עבודת ההכנה כאן?); . ההגדרה הזו קובעת - לכל משולש - איזה מעגל נקרא המעגל החוסם של המשולש הזה. הגדרה כזו היא למעשה פרדיקט בן שני מקומות - <math>\ B(x,y)</math> - שמתאימה לכל משולש שמקבל ערך אמת T אם ורק אם y מהווה מעגל חוסם של x את המעגל היחיד החוסם אותו. כלומר, מכיוון ש- <math>\ \forall x \exists ! y: B(x,y)</math>, ובמקרה המיוחד הזה המושג "אפשר לקרוא לאותו y (התלוי כמובן ב-x) בשם מיוחד - '''ה'''מעגל '''ה'''חוסם" הוא פונקציה המקבלת משולשים ומחזירה מעגליםשל x. ההבדל הוא שההגדרה אינה קובעת איזה מעגל הוא מעגל חוסם (הרי כל שימו לב שכל מעגל חוסם איזשהו משולש - (הצרינו זאת), אלא מבודדת עבור משולש מסוייםולכן איננו מגדירים כאן *איזה* מעגל נקרא מעגל חוסם (כמו בהגדרה מהסוג הראשון), את אלא *מהו* המעגל החוסם שלושל משולש מסויים.