ה'''סדנא בחשיבה מתמטית''' מציגה את עקרונות היסוד של הלוגיקה המתמטית.
==הכרת טיעוניםהצרנה ==טענה הינה פסוק היכול להיות אמת או שקר. טיעון לוגי הינו אוסף טענות (הנחות) וטענה יחידה (מסקנה) הנובעת לוגית מההנחות. טיעון לוגי תקף אם המסקנה נובעת לוגית מההנחות, ואינו תקף אחרת. בעת בדיקת תקיפות טיעון יש לוודא כי המסקנה אכן נובעת מההנחות, ולא אם ההנחות שקריות או אמיתיות.
'''הצרנה''' היא תרגום של פסוק או טיעון לוגי אינו תקף יומיומי או מתמטי לשפה לוגית מדוייקת, על-פי צורתו, תוך התעלמות מתוכנו. לאחר שהפסוק תורגם, אפשר להפעיל עליו כלים לוגיים סטנדרטיים על-מנת לבחון אותו, להעביר אותו לצורה שקולה, להשוות אותו לפסוקים אחרים, וכדומה. השלב הראשון בהצרנה הוא זיהוי ה'''אטומים''', שהם המרכיבים היסודיים של הפסוק. מסמנים כל אטום באות משלו - כאן בחרנו לסמן את האטומים באותיות לטיניות רישיות - A,B,C וכן הלאה. * '''דוגמא'''. "אם ורק לא תגמור מהצלחת, יבוא שוטר".כדי לטפל בפסוק כזה, עלינו להגדיר שני אטומים: A="תגמור מהצלחת", B="יבוא שוטר". הפסוק קובע "אם לא A אז B". כך אפשר לראות מיד שיש לו אותה צורה, ולכן אותן תכונות לוגיות, כמו לפסוק הבא:* "אם לא נכלכל את צעדינו בתבונה, נמצא את עצמנו מול שוקת שבורה". (אם לא A אז B, כאשר A="נכלכל את צעדינו בתבונה" ו-B="נמצא את עצמנו מול שוקת שבורה"). הדוגמאות יכולות להיות מסובכות בהרבה:* "כאשר אני עייף ורעב אני נעשה עצבני, או שאני הולך לישון; אבל אם אני עצבני ולא עייף, אז אני רעב". (כלומר, עבור האטומים המתאימים A,B,C,D: (אם (A וגם B) אז (C או D)), וגם (אם (C ולא A) אז לא B)). * חוקי המשחק [http://www.setgame.com/set/puzzle_frame.htm SET]: על השולחן מונחים שנים-עשר קלפים, לכל קלף במשחק יש ארבע תכונות: '''צורה''', '''צבע''', '''מספר''' ו'''מילוי'''. על השחקנים למצוא שלשות חוקיות; ''שלשה חוקית'' הינה '''שלשה של קלפים אשר כל ההנחות אמיתיות אולם המסקנה שקריתתכונה שלהם בנפרד שווה בכולם או שונה בכולם'''. לכן שלשה הינה חוקית אם (((הצבע של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש צבע אחר)) וגם ((המילוי של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש מילוי אחר))וגם ((המספר של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש מספר אחר)) וגם ((הצורה של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש צורה אחרת))). (כלומר, עבור האטומים המתאימים A,B,C,D,E,F,H,I: שלישיה הינה חוקית אם ((A או B) וגם (C או D) וגם (E או F) וגם (H או I))). הצרנה היא כלי טכני ולא ספרותי; תוך כדי יצירת ביטוי חד-משמעי היא עשויה לאבד את המשמעויות העדינות של המשפט המקורי. לדוגמא, מצרינים* "ירד גשם ובכל זאת היה חם בחוץ" ו-* "ירד גשם והיה חם בחוץ" באותה צורה ("A וגם B"). המשמעות המרומזת ("בדרך כלל A גורר את השלילה של B") נעלמת. '''תרגיל'''. הצרן: למדתי היטב למבחן, ואף על פי כן נכשלתי בו. דוגמא נוספת: *"ערן לובש חולצה סגולה אם הוא לובש מכנסיים בצבע שחור", "כאשר ערן לובש מכנסיים בצבע שחור אז הוא לובש חולצה סגולה", "יחד עם מכנסיים בצבע שחור, ערן לובש חולצה סגולה בלבד", וכן הלאה. '''תרגיל'''. כתוב את הפסוק המתאר שלשה '''לא חוקית''' במשחק SET.
דוגמא:
*"אם אני גבוה, איני מגיע לתקרה. אם איני מגיע לתקרה, אני יכול להוריד את צנצנת העוגיות מהמדף העליון. לכן, מכיוון שהיני גבוה, אני יכול להוריד את צנצת העוגיות מהמדף העליון".
*"מכיוון ששלוש הינו מספר זוגי, 2 בחזקת שלוש אינו מספר שלם". (שימו לב ששני הטיעונים הינם תקפים, שכן אם ההנחות נכונות המסקנה נובעת מהן, במקרה השני ההנחה כלל אינה נכונה)
=== ערך אמת ===
* <math>1<0</math>- פסוק שקרי
* <math>x<0</math>- לא פסוק
'''תרגיל'''. נתונים שלושת הפסוקים הבאים:
A- הימים חולפים, B- שנה עוברת, C-המנגינה לעולם נשארת.
א. הצרינו את הפסוקים הבאים:
*הימים אינם חולפים
* הימים חולפים או המנגינה לעולם נשארת
*לא נכון שהימים חולפים וששנה עוברת
*הימים חולפים, שנה עוברת, אבל המנגינה לעולם נשארת
*הימים חולפים אם ורק אם אין זה נכון שאם שנה עוברת אז המנגינה אינה נשארת לעולם.
ב. נתון ש-A אמיתי, B אמיתי, C שקרי. קבעו את ערכי האמת של הפסוקים בסעיף הקודם.
== פסוקים וקשרים ==
'''תרגיל'''. אמא מבטיחה לילד: אם תקבל 100 במבחן, נקנה לך כלבלב. הוא קיבל במבחן 97, ואיננו יודעים האם קיבל כלבלב או לא. האם קיימה האם את ההבטחה?
'''תרגיל'''. בניסוי מפורסם בתורת ההחלטות, מציגים לנבדק ארבעה כרטיסים שבגבם הסימנים A, P, 2, 3. על כל כרטיס יש אות ומספר. אלו כרטיסים יש להפוך על-מנת לבדוק את הטענה "אם בצד אחד של הכרטיס יש אות ניקוד (AEIOU) אז בצידו האחר יש מספר זוגי?" רוב גדול של האנשים עונים שיש להפוך את הכרטיס הראשון והשלישי. מה התשובה הנכונה?
==== אם ורק אם ====
* במקום "אם A אז B" כותבים <math>\ A \rightarrow B</math>; מותר גם <math>\ B \leftarrow A</math>.
* במקום "A אם ורק אם B" כותבים <math>\ A \leftrightarrow B</math>.
'''תרגיל'''. * לוגיקן הלך לאכול במסעדת גורמה. הוא ניגש אל המלצר בתחילת הארוחה ואומר לו:
"תקבל טיפ, אלא אם תגיש את האוכל קר ובאיחור, או שהאוכל לא טעים ולא בררת איתי לגבי טעמו. למרות זאת, אם האוכל יהיה קר וטעים ויגיע באיחור, תקבל את הטיפ אם תגיש קינוח חינם".
הצרן את התנאי לקבלת טיפ, וחשב מה קרה בארוחה אם ידוע שהמלצר לא קיבל טיפ.
פתרון:
* P - המלצר קיבל טיפ
* H - האוכל הגיע חם
* O - האוכל הגיע בזמן
* K - האוכל הגיע טעים
* B - המלצר בירר לגבי טעם האוכל
* D - המלצר נתן קינוח חינם
התנאי לקבלת טיפ: <math>\neg \left[(\neg H\and \neg 0)\and (\neg K\and \neg B)\right] \or (\neg H\and K \and \neg O \and D ) \leftrightarrow P </math>
=== פסוקים מורכבים ===
*<math>A \rightarrow B\equiv \neg A \or B</math>
*<math>A\or B \equiv \neg (\neg A \and \neg B) </math>
== הצרנה ==
'''הצרנה''' היא תרגום של פסוק או טיעון יומיומי או מתמטי לשפה לוגית מדוייקת, על-פי צורתו, תוך התעלמות מתוכנו. לאחר שהפסוק תורגם, אפשר להפעיל עליו כלים לוגיים סטנדרטיים על-מנת לבחון אותו, להעביר אותו לצורה שקולה, לעמת אותו עם פסוקים אחרים, וכדומה.
* "אם לא תגמור מהצלחת, יבוא שוטר".
כדי לטפל בפסוק כזה, עלינו להגדיר שני אטומים: A="תגמור מהצלחת", B="יבוא שוטר". הפסוק קובע "אם לא A אז B". כך אפשר לראות מיד שיש לו אותו מבנה לוגי, אותה צורה, כמו לפסוק הבא:
* "אם לא נכלכל את צעדינו בתבונה, נמצא את עצמנו מול שוקת שבורה".
(אם לא A אז B, כאשר A="נכלכל את צעדינו בתבונה" ו-B="נמצא את עצמנו מול שוקת שבורה").
הדוגמאות יכולות להיות מסובכות בהרבה:
* "כאשר אני עייף ורעב אני נעשה עצבני, או שאני הולך לישון; אבל אם אני עצבני ולא עייף, אז אני רעב". (כלומר, עבור הביטויים המתאימים A,B,C,D: (אם (A וגם B) אז (C או D)), וגם (אם (C ולא A) אז לא B)).
*חוקי המשחק [http://www.setgame.com/set/puzzle_frame.htm SET]: על השולחן מונחים שנים-עשר קלפים, לכל קלף במשחק יש ארבע תכונות: '''צורה''', '''צבע''', '''מספר''' ו'''מילוי'''. על השחקנים למצוא שלישיות חוקיות; ''שלישיה חוקית'' הינה '''שלישיה של קלפים אשר כל תכונה שלהם בנפרד שווה בכולם או שונה בכולם'''. לכן שלישיה הינה חוקית אם (((הצבע של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש צבע אחר)) וגם ((המילוי של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש מילוי אחר))וגם ((המספר של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש מספר אחר)) וגם ((הצורה של שלושת הקלפים זהה) או (לכל קלף יש צורה אחרת))). (כלומר, עבור הביטויים המתאימים A,B,C,D,E,F,H,I: שלישיה הינה חוקית אם ((A או B) וגם (C או D) וגם (E או F) וגם (H או I))).
הצרנה היא כלי מתמטי ולא ספרותי, ותוך כדי יצירת ביטוי חד-משמעי היא עשויה לאבד את המשמעויות העדינות של המשפט המקורי. לדוגמא, מצרינים
* "ירד גשם ובכל זאת היה חם בחוץ" ו-
* "ירד גשם והיה חם בחוץ"
באותה צורה ("A וגם B"). המשמעות המרומזת ("בדרך כלל A גורר את השלילה של B") נעלמת.
'''תרגיל'''. הצרן: למדתי היטב למבחן, ואף על פי כן נכשלתי בו.
דוגמא נוספת:
*"ערן לובש חולצה סגולה אם הוא לובש מכנסיים בצבע שחור", "כאשר ערן לובש מכנסיים בצבע שחור אז הוא לובש חולצה סגולה", "יחד עם מכנסיים בצבע שחור, ערן לובש חולצה סגולה בלבד", וכן הלאה.
'''תרגיל'''. כתוב את הפסוק המתאר שלשה '''לא חוקית''' בSET.
'''תרגיל'''. נתונים שלושת הפסוקים הבאים:
A- הימים חולפים, B- שנה עוברת, C-המנגינה לעולם נשארת.
א. הצרינו את הפסוקים הבאים:
*הימים אינם חולפים
* הימים חולפים או המנגינה לעולם נשארת
*לא נכון שהימים חולפים וששנה עוברת
*הימים חולפים, שנה עוברת, אבל המנגינה לעולם נשארת
*הימים חולפים אם ורק אם לא נכון שאם שנה עוברת המנגינה אינה נשארת לעולם
ב. נתון ש-A אמיתי, B אמיתי, C שקרי. קבעו את ערכי האמת של הפסוקים בסעיף הקודם.
'''תרגיל'''. בניסוי מפורסם בתורת ההחלטות, מציגים לנבדק ארבעה כרטיסים שבגבם הסימנים A, P, 2, 3. על כל כרטיס יש אות ומספר. אלו כרטיסים יש להפוך על-מנת לבדוק את הטענה "אם בצד אחד של הכרטיס יש אות ניקוד (AEIOU) אז בצידו האחר יש מספר זוגי?" רוב גדול של האנשים עונים שיש להפוך את הכרטיס הראשון והשלישי. מה התשובה הנכונה?
'''תרגיל'''. * לוגיקן הלך לאכול במסעדת גורמה. הוא ניגש אל המלצר בתחילת הארוחה ואומר לו:
"תקבל טיפ אלא אם: 1.תגיש את האוכל קר ובאיחור. 2. האוכל לא טעים ולא בררת איתי לגבי טעמו
דבר אחד עשוי להציל את הטיפ שלך - אם האוכל יהיה קר וטעים ויגיע באיחור, תוכל לפצות אותי על ידי קינוח חינם".
הצרן את התנאי לקבלת טיפ, וחשב מה קרה בארוחה אם ידוע שהמלצר לא קיבל טיפ.
פתרון:
* P - המלצר קיבל טיפ
* H - האוכל הגיע חם
* O - האוכל הגיע בזמן
* K - האוכל הגיע טעים
* B - המלצר בירר לגבי טעם האוכל
* D - המלצר נתן קינוח חינם
התנאי לקבלת טיפ: <math>\neg \left[(\neg H\and \neg 0)\and (\neg K\and \neg B)\right] \or (\neg H\and K \and \neg O \and D ) \leftrightarrow P </math>
== תחשיב פרדקטים ==
פסוק שיש לו הוכחה מתמטית נקרא '''משפט'''. המשפטים מבוססים על משפטים קודמים להם וכן הלאה, עד שמגיעים אל האקסיומות היסודיות. בכל תורה מתמטית יש אקסיומות (למעט הלוגיקה הפסוקית, שבה אין בהן צורך). חלק מן הפסוקים האמיתיים שפגשנו קודם לכן נחשבים ל'''אקסיומות''' בכל מערכת מתמטית.
=== טיעונים תקפים ===
טיעון לוגי הינו אוסף טענות (הנחות) וטענה יחידה (מסקנה) הנובעת לוגית מההנחות. טיעון לוגי תקף אם המסקנה נובעת לוגית מההנחות, ואינו תקף אחרת. בעת בדיקת תקיפות טיעון יש לוודא כי המסקנה אכן נובעת מההנחות, ולא אם ההנחות שקריות או אמיתיות.
טיעון לוגי אינו תקף אם ורק אם כל ההנחות אמיתיות אולם המסקנה שקרית.
דוגמא:
*"אם אני גבוה, איני מגיע לתקרה. אם איני מגיע לתקרה, אני יכול להוריד את צנצנת העוגיות מהמדף העליון. לכן, מכיוון שהיני גבוה, אני יכול להוריד את צנצת העוגיות מהמדף העליון".
*"מכיוון ששלוש הינו מספר זוגי, 2 בחזקת שלוש אינו מספר שלם". (שימו לב ששני הטיעונים הינם תקפים, שכן אם ההנחות נכונות המסקנה נובעת מהן, במקרה השני ההנחה כלל אינה נכונה)
=== מודוס פוננס ===