שינויים
/* הוכחת טענות מכומתות */
'''תרגילים'''.
* השתמש בפרדיקט <math>\ P(x,y)</math> (אדם x חובב חיות מסוג y) כדי להצרין את הטענה "כל אדם החובב חיות, חובב לפחות שני סוגים שלהן". מה יש לעשות כדי להוכיח טענה כזו? מה יש לעשות כדי להפריך אותה?
* מרחב הוא קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו, יש תת-כיסוי סופי. לצורך העניין אין זה חשוב מהו כיסוי פתוח של מרחב, מהו תת-כיסוי, ומתי תת-כיסוי הוא סופי; נעיר רק שכל תת-כיסוי הוא בעצמו כיסוי , והתכונה "a הוא תת-כיסוי של b" היא פרדיקט דו-מקומי (אם תרצו, אתם יכולים להצרין את כל הנתונים האלה). קבע אלו מההגדרות הבאות שקולות:
** המרחב K הוא קומפקטי אם ורק אם יש לו כיסוי סופי.
** המרחב K הוא קומפקטי אם ורק אם יש לו כיסוי פתוח שיש לו תת-כיסוי סופי.
** גם כאשר ההגדרה באחד הסעיפים הקודמים אינה שקולה מבחינה לוגית, על-פי הפרדיקטים שניסחתם, לכאורה יתכן שההגדרות כן שקולות, משום שיש תכונות נוספות של כיסויים פתוחים שלא לקחתם בחשבון. אלו תכונות של כיסויים פתוחים יספיקו כדי לקבוע בכל מקרה שההגדרות באמת אינן שקולות?
* '''דוגמא'''. לפני המאפיה עומדים בתור אינסוף אנשים - ראשון, שני, שלישי וכן הלאה. האם אפשר לסמן לחלק לאנשים אינסוף אנשיםכובעים, שגובהם אינו עולהכך שכל חובש כובע גבוה לפחות כמו חובש הכובע שלפניו, או אינסוף אנשים שגובהם אינו יורדכך שכל חובש כובע נמוך לפחות כמו חובש הכובע שלפניו?(לפני שתגשו לפתור את השאלה, שימו לב לכך שהטענה "אפשר לחלק לאנשים אינסוף כובעים, כך שכל חובש כובע גבוה לפחות כמו חובש הכובע שלפניו, או נמוך לפחות כמו חובש הכובע שלפניו" היא טריוויאלית ואינה שקולה לטענה שאנו מנסים להוכיח).
'''פתרון'''. כן. נגדיר איש '''נישא''' בתור איש שאין אחריו אף אדם גבוה יותר. אם קיימים אינסוף נישאים בתור, אזי הם מהווים תור אינסופי שאינו עולה. אם לעומת זאת, יש רק מספר סופי של נישאים, נסלק את כל האנשים מהראשון בתור ועד לאחרון הנישאים. נשארנו עם אינסוף אנשים לא נישאים, כלומר שלכל אחד מהם יש מישהו הגבוה ממנו. נתחיל בראשון בתור, נעבור לגבוה ממנו, נעבור משם לגבוה ממנו, וכן הלאה, כך שיתקבל תור אינסופי שאינו יורד.
