* <math>\ \forall x: P(x) \equiv \neg \exists x: \neg P(x)</math> ("כל הסוסים שחורים" = "אין אף סוס שאינו שחור").
בפועל, שני הכמתים נמצאים בשימוש מתמטי תמידי.
'''תרגיל'''. '''סדרה''' היא התאמה של מספר ממשי לכל מספר טבעי: <math>\ a_1,a_2,a_3,\cdots</math>. מספר ממשי L הוא '''גבול''' של הסדרה, אם לכל מספר חיובי שנבחר, יש מקום בסדרה שממנו והלאה מרחק האברים בסדרה מ-L קטן מן המספר האמור. הצרן את הטענות הבאות:
* L הוא גבול של הסדרה <math>\ a_1,a_2,a_3,\cdots</math>
<math>\forall \epsilon >0 : \exists N: \forall n> N: (|a_n-L|<\epsilon)</math>
* "0 הוא הגבול של הסדרה <math>\ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \cdots</math>".
<math>\forall \epsilon >0 : \exists N: \forall n> N: (\frac{1}{n}<\epsilon)</math>
* "לסדרה <math>\ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \cdots</math> קיים גבול".
<math>\exists L: \forall \epsilon >0 : \exists N: \forall n> N: (|\frac{1}{n}-L|<\epsilon)</math>
* "L איננו הגבול של הסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math>".
<math>\exists \epsilon >0: \forall N: \exists n>N: (|a_n-L|\geq \epsilon)</math>
* "לסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> לא קיים גבול".
<math>\forall L: \exists \epsilon >0 :\forall N: \exists n>N: (|a_n-L| \geq \epsilon)</math>
* "אם יש לסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> גבול, אז הוא יחיד".
'''תרגיל'''. הפונקציה <math>\ f : C \rightarrow \mathbb{R}</math> '''רציפה בנקודה x''' אם לכל <math>\ \epsilon>0</math>, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שאם <math>\ |x-y|<\delta</math> (עבור y בקטע) אז <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. הפונקציה '''רציפה בקטע C''' אם היא רציפה בכל הנקודות x הנמצאות בקטע. הצרן את הטענות הבאות:
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> רציפה בקטע [0,1].
<math>\forall x \in [0,1] : \forall \epsilon >0: \exists \delta >0: (|x-y|<\delta \rightarrow |x^5-y^5|<\epsilon)</math>
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> אינה רציפה בנקודה x=0.
<math>\exists \epsilon >0: \forall \delta >0: (|y|<\delta \and |f(y)|> \epsilon)</math>
* הפונקציה f רציפה בנקודה x אם ורק אם לכל סדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> המתכנסת ל-x, הערך <math>\ f(x)</math> הוא גבול של הסדרה <math>\ f(a_1),f(a_2),\dots</math>.
'''תרגיל'''. הפונקציה <math>\ f : C \rightarrow \mathbb{R}</math> '''רציפה במידה שווה בקטע C''' אם לכל <math>\ \epsilon>0</math>, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל x,y בקטע, אם <math>\ |x-y|<\delta</math> אז <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. הצרן את הטענות הבאות:
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> אינה רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
* אם הפונקציה f רציפה במידה שווה בקטע C, אז היא רציפה בכל נקודה שלו.
'''תרגיל'''.
* נסח את שלילתו של הפסוק שהופיע קודם לכן, "מבין כל ששה אנשים, או שיש שלושה המכירים זה את זה, או שיש שלושה שאף אחד מהם אינו מכיר אף אחד אחר", עם חמישה אנשים במקום ששה.
* (נסה להוכיח ששתי הטענות נכונות: מכל ששה אנשים יש שלושה מכרים או שלושה זרים, אבל לא מכל חמישה).
'''תרגיל'''. נניח שלכל ספר יש נושא מוגדר, וכל ספריה כוללת אגף אחד או יותר. אגף של ספריה הוא '''שלם''', אם לכל נושא יש מדף שכל הספרים בו עוסקים בנושא זה. ספריה '''מוצלחת''' היא ספריה שיש בה אגף שלם.
* הצע פרדיקטים מתאימים והצרן את התכונה "ספריה זו היא מוצלחת". הצרן את התכונה "ספריה זו אינה מוצלחת".
* נניח שספריה היא מוצלחת. חדווה הספרנית בונה בכל אגף שלה מדף נוסף, המוקדש כולו לקריפטוזואולוגיה. האם הספריה החדשה מוצלחת בהכרח?
* נניח שספריה אינה מוצלחת. חדווה ניגשת לאחד האגפים, ומרוקנת בחמת זעם את המדף השלישי משמאל. האם יתכן שהספריה נעשתה כעת מוצלחת?
* בצו המלך הוכרז שאנטומיה של זוחלים אינה נחשבת יותר לנושא. איך משפיע הצו על מספר הספריות המוצלחות בממלכה?
"ספריה מאורגנת" היא ספריה שיש בה אגף כזה שלכל נושא
=== על מה מכמתים ===