88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים/פתרון 1

הצרנות

- לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.

$\forall x\in\mathbb{R}\exists n\in\mathbb{N}:n>x$

- אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ( $P(1)\equiv T$ ) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.

$\Big[P(1)\and (\forall n\in\mathbb{N}:P(n)\rightarrow P(n+1))\Big]\rightarrow\forall n\in\mathbb{N}:P(n)$

- x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).

נגדיר את הפרדיקט בעל שני המשתנים "x מחלק את y" ונסמן אותו באופן הנהוג $x|y$ . לכן x ראשוני אם $\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))$

- כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.

$\forall x\in\mathbb{N}:\Big[\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))\Big]\rightarrow \Big[\exists n\in\mathbb{N}\exists k\in\mathbb{N}:2n+2k=x\Big]$

- קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

קבוצות

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.

הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$ , והשלמים מוכלים בממשיים $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}$ ).