88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים/פתרון 1

הצרנות

- לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.

$\forall x\in\mathbb{R}\exists n\in\mathbb{N}:n>x$

- אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ( $P(1)\equiv T$ ) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.

$\Big[P(1)\and (\forall n\in\mathbb{N}:P(n)\rightarrow P(n+1))\Big]\rightarrow\forall n\in\mathbb{N}:P(n)$

- x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).

נגדיר את הפרדיקט בעל שני המשתנים "x מחלק את y" ונסמן אותו באופן הנהוג $x|y$ . לכן x ראשוני אם $\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))$

- כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.

$\forall x\in\mathbb{N}:\Big[\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))\Big]\rightarrow \Big[\exists n\in\mathbb{N}\exists k\in\mathbb{N}:2n+2k=x\Big]$

- קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

"קיימים אינסוף" הוא תנאי שיש להגדיר. ההגדרה האינטואיטיבית הינה לא קיים מספר סופי של איברים כאלה, כלומר ההנחה שיש מספר סופי תוביל לשלילה. הראנו בתרגיל אחר שזה שקול לטענה לכל מספר יש מספר הגדול ממנו המקיים את התנאי, וזה מה שנצרין כאן.

$\forall n\in\mathbb{N}\exists x\in\mathbb{N}:\Big[x>n\Big]\and\Big[\forall k\in\mathbb{N}: (k|x)\rightarrow ((k=1)\or(k=x))\Big] \and \Big[\forall k\in\mathbb{N}: (k|x+2)\rightarrow ((k=1)\or(k=x+2))\Big]$