שינויים

== כמתים == 

ה'''כמתים''', המציינים תחולה של משתנה, הם תוספת חיונית למערך הקשרים שלנו. יש שני כמתים: "לכל", המסומן באות <math>\ \forall</math> (זוהי A הפוכה, קיצור של המלה All); ו"קיים", המסומן באות <math>\ \exists</math> (E הפוכה, קיצור של Exists). כשבונים פסוק עם כמתים, מותר לקחת פסוק קיים (הכולל פרדיקטים, שבהם x הוא משתנה), ולבנות:* <math>\ \forall x : P(x)</math> - מקבל ערך אמת T אם הפסוק <math>\ P(x)</math> מקבל ערך אמת T לכל הצבה של x.* <math>\ \exists x: P(x)</math> - מקבל ערך אמת T אם יש הצבה של x כך שהפסוק <math>\ P(x)</math> מקבל ערך אמת T.

'''הערה'''. יש דרכים רבות לכתוב פסוקים כגון אלו. מקובל למשל <math>\ \forall x P(x)</math> או <math>\ (\forall x) P(x)</math>. כל הסגנונות חוקיים, בתנאי שהפסוק ניתן לקריאה באופן חד-משמעי.

'''דוגמא'''. את הפסוק "אין מספר גדול ביותר" אפשר להצרין באופן פשטני, כך: <math>\ \neg \exists x: L(x)</math>, כאשר <math>\ L(x)</math> הוא הפרדיקט "x הוא מספר גדול ביותר". הצרנה מעט יותר מתוחכמת תגדיר את הפרדיקט <math>\ P(x,y)</math> שפירושו "x<y", ותצרין ל-<math>\ \forall x: \exists y: P(x,y)</math>, כלומר, לכל מספר יש מספר הגדול ממנו.

לכל משוואה ריבועית <math>ax^2+bx+c=0</math> כך ש-<math>b^2-4ac \geq 0ge0</math> יש לפחות פתרון אחד.

<math>\forall a \forall b \forall c \Big[(b^2-4ac \geq 0ge0)\rightarrow to\big(\exists x (ax^2+bx+c=0)\big)\Big]</math>

לכל משוואה ריבועית <math>ax^2+bx+c=0</math> כך ש-<math>b^2-4ac = 0</math> קיים בדיוק פתרון אחד.

תשובה: <math>\forall x (x<0 \rightarrow to\forall y(y^2 \neq ne x))</math>

תשובה: <math>\forall x (x>0 \rightarrow to(\exists y(y^2=x) \and \exists z((z \neq ne y)\and (z^2=x)))</math> === פסוקים אמיתיים ===

===פסוקים אמיתיים===לפסוקים שיש בהם כמתים אי אפשר לבנות טבלאות אמת, משום שלצד האטומים המקבלים רק שני ערכי אמת אפשריים, יש בהם משתנים העשויים לעבור על-פני מספר אינסופי של אפשרויות. לכן הלוגיקה המטפלת בפסוקים עם כמתים (הנקראת "לוגיקה מסדר ראשון") מורכבת יותר מן הלוגיקה הפסוקית, ויש לה יכולת ביטוי רחבה יותר. גם בלוגיקה זו אומרים ששני פסוקים <math>\ \varphi, \psi</math> הם שקולים אם <math>\ \varphi \leftrightarrow \psi</math> מקבל ערך אמת לכל הצבה של המשתנים המעורבים.

* כדי להוכיח שהפסוק <math>\ \forall x : P(x)</math> אמיתי, יש להראות שהטענה P נכונה לכל ערך אפשרי של x.* כדי להוכיח שהפסוק <math>\ \exists x : P(x)</math> אמיתי, יש למצוא ערך של x שעבורו הטענה נכונה ("דוגמא").* כדי להוכיח שהפסוק <math>\ \forall x : P(x)</math> שקרי, יש למצוא ערך של x שעבורו הטענה אינה נכונה ("דוגמא נגדית").* כדי להוכיח שהפסוק <math>\ \exists x : P(x)</math> שקרי, יש להראות שהטענה P אינה נכונה לכל ערך אפשרי של x.

'''תרגיל'''. קבע אלו מהפסוקים הבאים הם אמיתיים, כאשר הסימנים "לכל" ו"קיים" פירושם "לכל מספר שלם" ו"קיים מספר שלם". אם הפסוק אינו אמיתי, בחר פרדיקטים ומשתנים המדגימים זאת. * <math>\ \forall x P(x) \implies \exists x P(x)</math>.* <math>\ \forall z: P(z) \rightarrow to\forall x,y: P(x^2+y^2)</math>.* <math>\ \exists z: P(z) \rightarrow to\exists x,y: P(x^2+y^2)</math>.* <math>\ (\forall x: P(x) \wedge and\forall x: Q(x)) \rightarrow to\forall x: (P(x) \wedge and Q(x))</math>.* <math>\ \forall x: (P(x) \wedge and Q(x)) \rightarrow to(\forall x: P(x) \wedge and\forall x: Q(x))</math>.* <math>\ (\exists x: P(x) \wedge and\exists x: Q(x)) \rightarrow to\exists x: (P(x) \wedge and Q(x))</math>.** '''פתרון''': יש מספר שלם ריבועי ויש מספר שלם בין 70 ל-80; אבל אין מספר שלם ריבועי שהוא בין 70 ל-80.* <math>\ \exists x: (P(x) \wedge and Q(x)) \rightarrow to(\exists x: P(x) \wedge and\exists x: Q(x))</math>.* <math>\ (\exists x: P(x) \vee or\exists x: Q(x)) \rightarrow to\exists x: (P(x) \vee or Q(x))</math>.

* <math>\ (\forall x: P(x) \rightarrow to Q(x)) \rightarrow to(\forall x: P(x) \rightarrow to\forall x: Q(x))</math>.