88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/ארכיון 2

שאלה מתרגיל 3

בעמוד 33 שאלה 1.1וחצי מותר להוכיח שהם מרחבים וקטוריים ע"פ הקריטריון המקוצר או שצריך להוכיח את כל התכונות?

הקריטריון המקוצר תקף רק לתת מרחב; על מנת להוכיח שקבוצה היא מרחב ווקטורי יש לבדוק את כל האקסיומות. --לואי פולב

בהקשר לשאלה- ניתן לומר שכבר הוכחנו חלק מהתכונות הנדרשות בהרצאות\שב קודמים?

מה למשל? -- לואי

6.20 ??????

איך אפשר להשתמש בסעיף א' כדי להוכיח את השאלה הקודמת ??

זה בדיוק סעיף ב' --ארז שיינר 21:37, 26 ביולי 2011 (IDT)

כן הבנתי, אבל אני לא מבין איך עושים את זה, אם הוכחנו שA מאפס את הפונקציה וA הוא איבר כללי a b c d זה לא אומר שכל מטריצה מאפסת אותה ?

הפולינום הזה משתנה כתלות במטריצה, הרי הוא מכיל את העקבה ואת דלתא. העובדה שהפונקציה הזו מאפסת את A גוררת משהו. שימו לב רק לדרך בה מציבים מטריצה בפולינום:

יהי פולינום $f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ ותהי $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ מטריצה ריבועית, אזי $f(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}$ הנה המטריצה $f(A)=a_0I+a_1A+...+a_nA^n$ --ארז שיינר 21:48, 26 ביולי 2011 (IDT)

תכפיל בהופכית (הרי נתון A הפיכה) ואז תשחק עם זה טיפה...

בקשר לסעיף ג', לא הבנתי למה מותר לקבוע tr(A)=0 ? הבנתי למה A^2 סקלרית אבל למה מותר להגיד את זה בכלל?

שים לב ללוגיקה: הרמז אומר שכל מטריצה בעלת עקבה אפס, בריבוע היא סקלרית, לא הA הספציפית מהשאלה... --ארז שיינר 20:13, 27 ביולי 2011 (IDT)

6.30 ב'

מותר לכפול שורה ב sin a?

למדנו שמותר לכפול שורה רק בקבוע שונה מאפס, ולמדנו שמותר להוסיף לשורה אחת שורה אחרת כפול קבוע כלשהו. החוקים האלה נכונים תמיד, גם לפרמטרים - כאשר הפרמטר שווה אפס אסור לכפול בו שורה. --ארז שיינר 17:08, 27 ביולי 2011 (IDT)

שאלה כללית

מה צריך להראות כדי להוכיח שמטריצה הפיכה?

שיש לה הופכית, או שהצורה הקנונית שלה היא I (או כל דבר אחר ששקול לזה שהיא הפיכה) --ארז שיינר 20:03, 27 ביולי 2011 (IDT)

לאלה שלא שמו לב: בתרגיל 6.30 יש שלושה סעיפים...

בסעיף האחרון של התרגיל, לא הבנתי מה החוקיות של המטריצה...

זו מטריצה ריבועית, האלכסון השני שלה (כלומר האיברים מהצורה $a_{i,i+1}$) מלא אחדות. השורה האחרונה הינה $(a_0,a_1,...,a_{n-1})$ וכל השאר אפסים. --ארז שיינר 20:07, 27 ביולי 2011 (IDT)

לא צריך לעשות רק את א' ו-ב'??

כן, התבלבלתי....

6.2 ב

צריך לפתור גם את א וגם את ב של השאלה הקודמת פשוט א זה בדיקה אז אני לא יודע...

(אני מניח שאתה מתכוון ל6.20) אתה צריך להוכיח בעצם שהמטריצה הינה הפיכה אם"ם $\Delta\neq 0$ --ארז שיינר 20:10, 27 ביולי 2011 (IDT)

תת מרחב וקטורי

(כן, זו שאלה 2.2 ב)

H תת שדה ל F. נתון V מ"ו מעל F, האם V מעל H הוא תמ"ו?

לפי ההגדרה שכתובה בספר של ד"ר בועז צבאן כתוב שתמ"ו נפרש מעל אותו שדה כמו המ"ו שמכיל אותו. אבל מצד שני שני המ"ו הם מעל H, ויש סגירות חיבור וכפל בסקלר ב V מעל H, ו V הוא לא קבוצה ריקה כמובן כי נתון שהוא מ"ו... האם ההגדרה שכתובה שם אוסרת שהתמ"ו יהיה מעל תת שדה של F? אוי לא .... אני מרגיש מטומטם מאוד... ברור שזה ש V נפרש מעל F לא מפריע ל V להיפרש מעל H, ובפרט הוא באמת נפרס מעל H.

שמחתי לעזור. --ארז שיינר 20:11, 27 ביולי 2011 (IDT)

תרגיל 3 1.1.1/2

בשאלה הכוונה היא ש- F הוא שדה?

כמובן --ארז שיינר 22:41, 27 ביולי 2011 (IDT)

תרגיל 4 2.7

צריך להוכיח ש"הקריטריון הקצר ביותר בעולם" שקול לקריטריון המקוצר או שהוא שקול לכל ההגדרות?

מספיק להוכיח לקריטריון המקוצר, כי כבר הוכחנו אותו.

6.20

עמוד 26 שאלה 6.20 חישוב שם זה הוכחה? או שיש איזה דרך פורמלית? תודה

מה הכוונה בחישוב? הרי המטריצה אינה נתונה. יש הוכחה מבלי להתייחס לאיברי המטריצה באופן פרטני, זה מה שצריך לעשות (אחרת זה בדיוק שאלה 6.19) --ארז שיינר 09:32, 28 ביולי 2011 (IDT)

המטריצה נתונה באותיות לכן אפשר להציב האותיות, והצבת אותיות במקום מספרים הופכת את זה לפורמלית?

לא. הצבה ישירה היא הדרך שביצענו בתרגיל 6.19, מבקשים פה לעשות דרך אחרת. אני רמזתי שאין צורך בכלל להשתמש באותיות a,b,c,d פרט לסעיף א'. --ארז שיינר 11:08, 28 ביולי 2011 (IDT)

6.20

איך מחשבים את הביטוי הבא trA-A האם כופלים את tr בI ובנוסף מה עושים ב6.35 סעיף ד (אין הוראה)

תסתכל בהודעות, או בשאלות קודמות ותראה כיצד מציבים מטריצה בפולינום (כן, כופלים את הקבוע בI). בד' צריך להוכיח... --ארז שיינר 11:09, 28 ביולי 2011 (IDT)

אנחנו יודעים משהו על נכונות הטענה בד'? (האם זה נכון על החיוביים או על השליליים)?

שלמים כלשהם (כאשר A בחזקת אפס הינה מטריצת היחידה) --ארז שיינר 22:38, 28 ביולי 2011 (IDT)

שאלה 2.11

כשכתוב ת"מ u*v מדובר בת"מ הבנוי מזוגות סדורים שהאיברים בהם מגיעים מU וV?

בשאלה הזאת $U \times V$ הוא מרחב ווקטורי (ולא תת מרחב) המוגדר באופן הבא

$U \times V = \{(u,v) : u \in U, v \in V \}$ --לואי

6.35

מותר להשתמש בזה שהמטריצה ההופכית של A בחזקת 1 שווה לעצמה ?

לא מובנת לי השאלה

והאם A^-1*B^-1 = AB ^-1 ? כלומר, הפיכה של מטריצה כפול הפיכה של מטריצה שנייה שווה להפיכה של מכפלת המטריצות ??

מתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

הוכחת מרחבים וקטוריים יש הבדל בין להוכיח עבור F על N, לבין F של N על N?

כנ"ל - מה בעצם השאלה? --לואי

אם NxN שדה בכלל... ועקרונית כן, אפשר להוכיח באותה צורה, רק צריך לשים לב שהסקלר שייך ל NxN ולא ל N. כי בסה"כ אם NxN שדה אז אתה יכול לקרוא לו בשם חדש, F. (למה שתרצה לעשות דבר כזה?)

אני לא חושבת שלזה הייתה הכוונה... --לואי

זה ברור שמטריצה בחזקת 1 שווה לעצמה ??

אם השאלה היא "האם זה ברור ש-$A^1=A$ ?" אז השתובה היא כן. לא הבנתי מה היה רשום קודם על המטריצה ההפיכה...--לואי

תרגיל 4 2.11 ב'

אפשר להסתמך פה על זה שהוחכנו (ב 1.1.1/2) שכל שדה הוא מרחב וקטורי?

אפשר להסתמך על כל מה שהוכח בהרצאה/תרגול או בשיעורי הבית (כל עוד מצטטים את הטענה המדוברת) --לואי

4.9 עמ' 37

השתמשו שם בסימון של סכום ישר (\חיבור מודולארי\XOR) בין מטריצות. מה המשמעות של זה?--Ohadklein 15:57, 28 ביולי 2011 (IDT)

סכום ישר של שתי מטריצות $A \oplus B$ מוגדר להיות מטריצת בלוקים אלכסונית, כאשר הבלוק העליון הוא A והתחתון הוא B (והשאר אפסים) --לואי

מטריצה הופכית

האם ניתן להסיק שהמטריצה ההופכית של A בחזקת K היא A בחזקת מינוס K ???

האם זה לא בדיוק סעיף ב' של שאלה 6.35? חח

6.20

אם אני מגיעה למצב ש- AB=IC זה אומר שמטריצה A הפיכה ?

אם C=AB זה נכון לכל מטריצה... --ארז שיינר 22:39, 28 ביולי 2011 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 6.41 ג'

בסעיף ג' רשום שלפי סעיף ב' המטריצה צריכה להיות מעל שדה אינסופי בסעיף ב' רשום מעל שדה סופי איפה יש טעות ?

אין טעות, בסעיף ב' רצו שתוכיח שלשדה אינסופי יש מטר' כך שלכל n מתקיים A^n != I. אבל לשדה סופי לכל מטר' קיים n כך ש A^n = I אגב, 6.41 ב' שאלה מגניבה יחסית לשאר... היא לא טכנית.--Ohadklein 02:45, 29 ביולי 2011 (IDT)

תרגיל 4- שאלה 2.2

האם שדה הוא בפרט ת"מו? כלומר בשאלה הזאת האם ניתן לומר ש F הוא ת"מ של V מעל H ? תודה

זו בדיוק השאלה. בתרגיל 1.4 אומרים שF הינו מ"ו מעל H. יחד עם ההגדרה לתת מרחב, האם זה נובע? --ארז שיינר 16:40, 29 ביולי 2011 (IDT)

תרגיל 3 1.1 וחצי

במקום להוכיח שFn מ"ו, אפשר להוכיח רק את השני ולנמק שניתן לזהות את F(1xn) עם Fn?

"ניתן לזהות" אינו מושג מתמטי (לפחות לא עם הידע שלכם כרגע). אני מניח שההוכחות דומות ואפשר מידי פעם לרשום "באופן דומה". --ארז שיינר 16:43, 29 ביולי 2011 (IDT)

למה שלא תוכיח על מטריצה כללית ואז עשית גם את (F(NxN וגם את (F(Nx1?

שאלה 6.34

מה זה פתרון כללי?

פתרון מהצורה $(1-s,s,3+t+s,t)$ כפי שלמדנו לרשום למטריצות עם אינסוף פתרונות. אתה מוזמן להציץ בסיכומי התרגול באתר בנושא. --ארז שיינר 16:44, 29 ביולי 2011 (IDT)

שאלה 6.35 ג' ו ד'

צריך להוכיח גם שהטענות נכונות ל a ו b חיוביים? או שזה ידוע?

צריך להוכיח גם --ארז שיינר 14:09, 30 ביולי 2011 (IDT)

תרגיל 6.35

באילו חוקים ניתן לעבוד עם החזקות בתרגיל זה?

אין חוקים, אתה מוכיח אותם בדיוק בתרגיל זה. מותר אינדוקציה --ארז שיינר 19:19, 30 ביולי 2011 (IDT)

1.1.0.5 ו1.5

בשני התרגילים האלה אני אמור להוכיח שזה מרחב וקטורי על ידי הוכחת תכונה תכונה או שיש רק תכונות ספציפיות שצריך להוכיח?

כל התכונות --ארז שיינר 09:53, 31 ביולי 2011 (IDT)

1.1 וחצי

האם כל מטריצה נחשבת למרחב וקטורי חוץ ממטריצת ה0 ?

אף מטריצה אינה מרחב בפני עצמה אלא וקטור. מטריצת האפס הינה וקטור האפס. קבוצת כל המטריצות מגודל מסויים מהווה מרחב וקטורי --ארז שיינר 23:13, 30 ביולי 2011 (IDT)

תרגיל 4

האם ניתן לומר שמרחב וקטורי מוכל בשדה שמעליו הוא נמצא?

ממש לא!!! האם המרחב $\R^2$ מוכל ב-$\R$? אלו בכלל איברים מצורה שונה שכן הראשון מכיל זוגות סדורים והשני מספרים. גל א.

שאלה מתרגיל 6

בשאלה 7.21 t מגיע מF?

(לא מתרגל, לקחתי את הקורס הזה שנה שעברה) אני חושב ש-t היא חזקה כלשהי כך שעבורה מוגדר כפל מטריצות, כלומר ש-t הוא טבעי או אפס (או אולי t שלם אם המטריצה הפיכה?). גל א.

תרגיל4 שאלה 4.8

אני לא מבין מה כוונת הנתנונים .. מה הם בעצם Ui ן- Vi כי אם הם איברים איך יש להם סכום ישר.. ?

רשום בדיוק מהן: קבוצות המוכלות ב-R^n. עכשיו אני אפילו רואה שרשום שהם תת מרחבים! ולכן יש להם סכום ישר, כמו לכל תתי המרחבים

מה זאת אומרת למצוא ת"מ? איך התשובה בכלל אמורה להיראות? מה אני מחפש?

תת מרחב, ראינו כאלה בשיעור. למשל $span\{1,0\},\{(a,b,a-b)|a,b\in\mathbb{R}\}$ וכדומה --ארז שיינר 20:56, 1 באוגוסט 2011 (IDT)

בקשר ל2.2

אם V מ"ו מעל F אז לא בהיכרח F מוכל בV נכון?

האם R מוכל ב R^2? --ארז שיינר 20:57, 1 באוגוסט 2011 (IDT)

תרגיל 4 שאלה 4.9

איך אני אמור להתייחס למרחב הפתרונות .. כמה ? האם מרחב הפתרונות הוא וקטור עמודה ? איך עושים חיבור ישר למרחב הפתרונות V1 ו V2

תרגיל 4.3

מישהו הצליח לפתור את 4.3 מתרגיל 4?

אני (: לא! אני צריך עזרה פה ממישהו איך אני בכלל יכול להתייחס לחיתוך ולחיבור תמ"ו ביחד? ממש קשה לי להבין איך זה יראה נגיד בדיאגרמת וון, אני מבין שחיבור תמ"ו הוא לא האיחוד.. אז איך לגשת לשאלה הזאת?

תרגיל 4.3 בתרגול מס' 4

נניח כי הוקטור x+y שייך ל-U תמ"ו, האם ניתן להגיד שכל וקטור בנפרד שייך ל-U? זה נראה מאוד חשוד, אבל אני לא יכול לחשוב על הוכחה או הפרכה. הכוונה, האם ניתן להגיד את זה כתכונות מהתמ"ו U בלי הוכחה?

אני לא מתרגל, אבל אתה יכול להגיד הפוך שאם x ו y שייכים ל U תמ"ו אז לפי סגירות של התמ"ו הסכום שלהם שווה.. אז נראה לי שמותר להגיד את זה הפוך..

אתה יכול גם להתחיל עם x+y ואז להגיד לפי סגירות לחיבור גם x+y+(-y)=x שייך לתמ"ו לפי סגירות וככה גם עבור y