[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
=שיעור ראשון=
==שדות=====הגדרה===קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:#'''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)#'''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}הגדרה:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>[[שדה]]. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math>#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר <math>a\neq 0</math> קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math>#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
===תרגיל 1.3 סעיף ג'===
[בד"כ נעשה בהרצאה!] יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0 </math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
====פתרון====
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0+0\cdot a =0</math>
לכן לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0)\cdot a=0</math>
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף שלכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (57) לאיבר [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:= (0\cdot a + (-(0)\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + </math> (-השתמשנו בעצם בתכונה (0\cdot a7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))</math>
לפי תכונה (35) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [קיום נגדי] לאיבר <math>0\forall cdot a\in\mathbb{F}:</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + (0\cdot a ) + (-(0\cdot a)))</math>
4444
לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל
<math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>
עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.
עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש<math>0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שרצינו להוכיח.
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי.
===פתרון===
מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.
===תרגיל 1.3 סעיף ו'===
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)
====פתרון====
לכל איבר יהא a בשדה:צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].
כיוון החיבור חילופי נקבל כי <math>(-a)+a=a+(-a)</math>. כיוון ש <math>a+(-a)=0</math> לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.
מתכונה (5) ===תרגיל 1.3 סעיף ז'===יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a+\in\mathbb{F}:(-a1)\cdot a=0-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)
====פתרון====
<math>-a</math> זה סימון לנגדי של <math>a</math>. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math>, לכן הם שווים (נגדי יש אחד).
כמו כןמתוך תכונות (7), מתכונה (5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>(-0=0\cdot a)= (1+(-(-a1))\cdot a =01\cdot a + (-1)\cdot a</math>
נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-a1)=(-\cdot a)+(-(-a))</math>
נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר לכן קיבלנו ש- <math>(a+(-a)1)+\cdot a=((-a)+(-(-a)))+</math> הוא הנגדי של <math>a</math>כפי שרצינו.
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>
===תרגיל ===
בד"כ נעשה בהרצאה!
יהא <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in \mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0)
לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל ====פתרון====נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.אם <math>a=0</math> סיימנואחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-(1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל<math>b=a^{-1}ab=a)^{-1}0=0</math> כפי שרצינווסיימנו.
===תרגיל 12.3 סעיף זא'===יהי שדה [בד"כ נעשה בהרצאה!]יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{FN}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>=\forall a\in\mathbb{F}:(-1),2,3,....\cdot a=-a}</math>אינה שדה. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)
====פתרון====
מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>0=0\cdot a = (1+(-1))forall n,k\cdot a = 1in\cdot a mathbb{N}:n+ (-1)\cdot ak>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.
לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>
===תרגיל===
נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל <math>-a=הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (-1כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)\cdot a</math> כפי שרצינו.
===תרגיל===
===תרגיל 2.3 סעיף א'===הוכיחו שבשדה לכל איבר יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדההופכי יחיד.
===תרגיל=פתרון====אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math> ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.
הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.
===תרגיל 2.3 סעיף ג'===
יש להוכיח ש [בד"כ נעשה בהרצאה!]הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש . עובדה: עבור n=mk)p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math>
דעו תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> הינו קבוצה מהצורה <math>\mathbb{Z}_nאינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math> יחד עם פעולות mk)ביחס לפעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.
====פתרון====
לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,
<math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.
לו היה זה שדה, היו קיימים איברים הופכיים (שכן k,m mod n שונה מאפס) בהם היה ניתן לכפול והיינו מקבלים: כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\overlinemathbb{kZ}^{-1}\overline{m}^{-1}\cdot 0 = 1_n</math> ולכן 0=1 בסתירה לתכונות השדהאינו שדה במקרה זה.
===תרגיל 2.6===
====פתרון====
לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. בדומה לתרגיל קודם, אם נכפול בהופכיים שלהם נקבל 1=0 בסתירה.כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!
===תרגיל 3.4===
*<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>
*<math>\overline{z}z=|z|^2</math>
===משפט דמואבר===
[אפשר לדלג] ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math>כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו) משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>
===תרגיל 3.8 א'===
חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math>
===פתרון===
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית . בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>r=|z|=r\sqrt{1^2+cdot cis(\sqrt{3}theta)^2}=2</math>. מתבצע על ידי <math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>
אצלנו בשאלה
ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל
<math>r=|z|=\sqrt{1^{2011}cis(335\cdot 2\pi+(\frac{\pi}sqrt{3})=z^{2011}cis\frac{\pi}{32}=2</math>
<math>cos\theta =\frac{a}{r}=מערכות משוואות לינאריות==מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה \frac{1}{2}</math>
ולכן <math>a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n\theta =a_\frac{n+1\pi}{3}</math>
<math>b_1x_1+b_2x_2+...+b_nx_n=b_{n+1}</math>
...ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל
<math>2^{2011}cis(סה"כ m משוואות335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>
=== תרגיל ===
פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math>
ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמא:=== תרגיל ===מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)
<math>\left\{\begin{matrix}x+3y=5\\ y-z=2\\ x+2y+z=4\end{matrix}\right.</math>פתרון:
נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math>
את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה <math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4\end{pmatrix}</math> ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות: *כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה) ===דירוג גאוס ===איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים מעל לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד. הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''. כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''. ===תרגיל 1.5 סעיף ב'===פתור חשבו את המערכת הבאה מעל הסכום <math>\mathbb{Z}_{11}</math>. <math>\begin{pmatrix}5 & 3 & 3 & |0 \\ 7 & 3 & 7 & |0 \\ 7 & 9 & 0 & |3\end{pmatrix}</math> ====פתרון====נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11: <math>\begin{pmatrix}cos(1 & 5 & 5 & |0 )+\cdots +\ 1 & 2 & 1 & |0 \\ 1 & 6 & 0 & |2\end{pmatrix}cos(n)</math>
נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.פתרון:
ניעזר במרוכבים: <math>\beginsum_{pmatrixk=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1 & 5 & 5 & |0 }^{n}\text{cis}(k)\ 0 & 8 & 7 & |0 right)=\text{Re}\ 0 & left(\sum_{k=1 & 6 & |2}^{n}\endtext{pmatrixcis}(1)^{k}\right)</math>
נכפול ===תרגיל (חשוב) ==='''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את השורה השנייה ב7המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.
הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\beginmathbb{pmatrixF}1 & 5 & 5 & |0 \</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\ cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.0 & 1 & 5 & |0 בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\\ sum_{i=0 & 1 & 6 & |2\end}^{pmatrixn}a_ia^i</math>.עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math>
נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבליהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.
<math>\begin{pmatrix}1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |2\end{pmatrix}</math>הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.
ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1= ~מסקנה====הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x=-10-5=7a\right)</math>