=שיעור ראשון=
==שדות(מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)==
הגדרה: [[שדה]].
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה ל0 אין נגדיהופכי.
===פתרון===
לכן קיבלנו ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math> כפי שרצינו.
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>
===תרגיל ===
[בד"כ נעשה בהרצאה!]
יהא <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in \mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0)
====פתרון====
אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.
===תרגיל===
הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.
===תרגיל 2.3 סעיף ג'===
כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה במקרה זה.
===תרגיל===
הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד.
===תרגיל===
הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c.
===תרגיל 2.6===
<math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math>
=== תרגיל ===
פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math>
===תרגיל===הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+left(a,b\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.בהיתן פולינום <math>p(xright)</math> ואיבר בשדה בזווית <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^itheta</math>.עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(xכלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)</math> אם <math>p(a)=0</math>
יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.פתרון:
הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד.נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math>
==מערכות משוואות לינאריות= תרגיל ===מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math>
<math>a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1</math>פתרון:
ניעזר במרוכבים: <math>a_\sum_{2,k=1}x_1+a_^{2,2n}x_2+...+a_\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{2,n}x_n\text{cis}(k)\right)=b_2\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math>
...===תרגיל (חשוב) ==='''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>a_{m,p(x)=1}x_1+a_{m,2x+3x^2}x_2+...4x^3+a_{m,n}x_n=b_m5x^4+6x^5</math>יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.
הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.בהיתן פולינום <math>p(סה"כ m משוואותx)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math>
יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.
ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת '''מטריצה'''. לדוגמאהוכחה: <math>\left\{\begin{matrix}x+3y=5\\ y-z=2\\ x+2y+z=4\end{matrix}\rightבשימוש תכונות הצמוד.</math> את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4\end{pmatrix}</math> ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות: *כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)<math>A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix}2 & 6 & 0 & |10 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4\end{pmatrix}</math>*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)<math>A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix}1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 0 & -1 & 1 & |-1\end{pmatrix}</math>*החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה) <math>A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix}0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 3 & 0 & |5 \\ 1 & 2 & 1 & |4\end{pmatrix}</math> ===דירוג גאוס ===איבר '''מוביל/פותח/ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים '''מעל''' לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד. הערה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''. צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא)<math> \begin{pmatrix}* & ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & * & ? &? \\ 0 & 0 & 0 & * & ? \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר ? מסמן ערך כלשהוא)<math> \begin{pmatrix}1 & ? & 0 & 0 & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 &? \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ? \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''. ===תרגיל===פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>. <math>\left( \begin{array}{ccc|c}2 & 4 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 \\\end{array}\right)</math> === פתרון === נשתמש בדירוג גאוס <math>\left( \begin{array}{ccc|c}2 & 4 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 1 \\2 & 4 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 & -1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right)</math> זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית <math>\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 & -1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 1.5 \\0 & 2 & 0 & -1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 1.5 \\0 & 1 & 0 & -0.5 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right) </math>ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא <math>x=1.5, y=-0.5, z=1</math> ===תרגיל המשך===פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>. <math>\left( \begin{array}{ccc|c}2 & 4 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right)</math> === פתרון === נשתמש בדירוג גאוס <math>\left( \begin{array}{ccc|c}2 & 4 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 0 & 0.5 \\0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right)</math> זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=1, x= 0.5-2t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה <math>\{\left( \begin{array}{c}0.5-2t \\t\\1\end{array}\right): \, t\in \mathbb{R} \}</math> === תרגיל המשך === פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>. <math>\left( \begin{array}{cc|c}1 & 4 & 1 \\1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 \\\end{array}\right)</math> ===פתרון===נשתמש בדירוג גאוס <math>\left( \begin{array}{cc|c}1 & 4 & 1 \\1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2} \left( \begin{array}{cc|c}1 & 4 & 1 \\0 & -4 & 0 \\0 & 1 & 1 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{cc|c}1 & 4 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & -4 & 0 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3} \left( \begin{array}{cc|c}1 & 4 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 4 \\\end{array}\right)</math> בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון. ===תרגיל=== פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>. <math>\left( \begin{array}{ccc|c}i & 2 & 1 & 3 \\1 & 2& 0 & 1 \\1 & 1-2i & 1 & 5 \\\end{array}\right)</math> ===תרגיל===פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>. <math>\left( \begin{array}{ccc|c}i & 2 & 1 & 3 \\1 & 1-2i & 1 & 5 \\\end{array}\right)</math> פתרון <math>\left( \begin{array}{ccc|c}i & 2 & 1 & 3 \\1 & 1-2i & 1 & 5 \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c}i & 2 & 1 & 3 \\0 & 1 & 1+i & 5+3i \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c}i & 0 & -1-2i & -7-6i \\0 & 1 & 1+i & 5+3i \\\end{array}\right) \xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2+i & -6+7i \\0 & 1 & 1+i & 5+3i \\\end{array}\right)</math> זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i)</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה <math>\{\left( \begin{array}{c}-6+7i-t(-2+i) \\5+3i - t(1+i)\\t\end{array}\right): \, t\in \mathbb{R} \}</math> ===תרגיל 1.5 סעיף ב'===פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>. <math>\begin{pmatrix}5 & 3 & 3 & |0 \\ 7 & 3 & 7 & |0 \\ 7 & 9 & 0 & |3\end{pmatrix}</math> ====פתרון====נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11: <math>\begin{pmatrix}1 & 5 & 5 & |0 \\ 1 & 2 & 1 & |0 \\ 1 & 6 & 0 & |2\end{pmatrix}</math> נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית. <math>\begin{pmatrix}1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 8 & 7 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2\end{pmatrix}</math> נכפול את השורה השנייה ב7 <math>\begin{pmatrix}1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2\end{pmatrix}</math> נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל <math>\begin{pmatrix}1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |2\end{pmatrix}</math> ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math> ===מספר פתרונות===*נביט בצורה המדורגת של המטריצה. *משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''. ===תרגיל===מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי. <math>\left( \begin{array}{ccc|c}1 & a & 1 & 1 \\ a & a^2 & 1 & 2+a \\ a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)</math> === פתרון === <math>\left( \begin{array}{ccc|c}1 & a & 1 & 1 \\ a & a^2 & 1 & 2+a \\ a & 3a & 1 & 5\end{array}\right) \xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & a & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1-a & 2 \\ 0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right) \xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & a & 1 & 1 \\ 0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\0 & 0 & 1-a & 2 \end{array}\right) </math> ולכן:*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה<math>\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) </math>וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית") * עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה<math>\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2\\0 & 0 & -2 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) </math>וגם שיש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה <math>\{\left( \begin{array}{c}2-3t \\t\\-1\end{array}\right): \, t\in \mathbb{R} \}</math> ===תרגיל===מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי (הערה: זהו הכללה של התרגיל הקודם. התרגיל הקודם מתקבל כאשר נציב t=-3 בתרגיל זה). <math>\begin{pmatrix}1 & a & 1 & |1 \\ a & a^2 & 1 & |2+a \\ a & 3a & 1 & |2-t\end{pmatrix}</math> <math>R_3:R_3-R2</math> <math>R_2:R_2-aR_1</math> <math>\begin{pmatrix}1 & a & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 1-a & |2 \\ 0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a\end{pmatrix}</math> <math>R_2\leftrightarrow -R_3</math> <math>\begin{pmatrix}1 & a & 1 & |1 \\ 0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\ 0 & 0 & 1-a & |2\end{pmatrix}</math> כעת נניח <math>a\neq 0,1,3</math>. נבצע פעולות שחוקיות '''רק''' תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור '''לנקודה הזו בדיוק''' ונפתור את המקרים <math>a=0,1,3</math> בצורה חוקית. <math>R_2:\frac{R_2}{a(a-3)}</math> <math>R_3:\frac{R_3}{1-a}</math> <math>\begin{pmatrix}1 & a & 1 & |1 \\ 0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\ 0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}\end{pmatrix}</math> במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד. נחזור למקרים האחרים: *נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל: <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |t \\ 0 & 0 & 1 & |2\end{pmatrix}</math> אנו מקבלים משוואה מהצורה <math>0=t</math>. **אם <math>t\neq 0</math> זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).**אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: <math>y=s,z=2,x=1-2</math> ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-1,s,2)</math> *נניח a=1:<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & -2 & 0 & |1+t \\ 0 & 0 & 0 & |2\end{pmatrix}</math> השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה. *נניח a=3:<math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |3+t \\ 0 & 0 & -2 & |2\end{pmatrix}</math>
**אם ==== ~מסקנה====הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>t\neq -3n</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת**אם t=3 הפתרון הכללי הוא ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(2x-3s,s,-1a\right)</math>
