שינויים
/* תרגיל */
כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא '''[[מדיה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.
===תרגיל===
זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי נראה שלמערכת יש אין סוף פתרונות(עוד מעט נאמר את הכלל, אנחנו באים כן מהפרט אל הכלל. ..): נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה
<math>\{\left( \begin{array}{c}
</math>
=== תרגיל ===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{R}</math>.
בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.
===תרגילמספר פתרונות=== פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>*נביט בצורה המדורגת של המטריצה. <math>\left*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל ( \begin{array}{ccc|c}איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.i & 2 & 1 & 2 \\*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.1 & 2& 0 & -2+i \\*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.\end{array}\right)**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.</math>**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.
===תרגיל===
<math>\left( \begin{array}{ccc|c}i 1 & 2 a & 1 & 3 1 \\1 a & 1-2i a^2 & 1 & 5 2+a \\a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>
=== פתרון===
<math>\left( \begin{array}{ccc|c}i 1 & 2 a & 1 & 3 1 \\1 a & 1-2i a^2 & 1 & 5 2+a \\a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{iR_1+R_2 -aR_1 \to R_2}
\left( \begin{array}{ccc|c}
\xrightarrow[]{R_1-2R_2 R_2 \to R_1leftrightarrow R_3}
\left( \begin{array}{ccc|c}
ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2+i 1 & -6+7i 1 \\0 & 1 0 & 1+i & 5+3i \\0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")
<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-6+7i-t(-2+i) 3t \\5+3i - t(1+i)\\t-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>
=== צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>AAA=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>
חייבים להיות אפסים בשביל ש:
</math>
=== תרגיל: צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>A=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>
חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית
=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -14
\end{array}\right.</math>
ואת המערכת
<math>\left\{ \begin{array}{rcl}
x+y-z & = & 1\\
\phantom{2kx}y+z & = & -1\\
x-3y+3z & = & 9\\
-2x+4y-24z & = & -24
\end{array}\right.</math>
מעל הממשיים
'''דגש:''' שורת אפסים לא אומרת שיש אינסוף פתרונות!
=== תרגיל ===
פתרו את המערכת
<math>\left\{\begin{matrix}
x+3y=5\\
y-z=2\\
x+2y+z=4
\end{matrix}\right.</math>
מעל הממשיים
=== תרגיל ===
.4 נניח כי אחרי דירוג של מערכת נתונה הגענו ל <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & -1\\
0 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>
מצאו את קבוצת הפתרונות למערכת (מעל הממשיים) בהנחה ש:
* המערכת הומוגנית עם 4 משתנים .
*המערכת לא הומוגנית עם 3 משתנים.
===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.
<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 2 \\
1 & 2& 0 & -2+i \\
1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\
\end{array}\right)
</math>
===תרגיל===
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{C}</math>.
<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)
</math>
פתרון
<math>\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1-2i & 1 & 5 \\
\end{array}\right)
\xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2}
\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
\xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1}
\left( \begin{array}{ccc|c}
i & 0 & -1-2i & -7-6i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
\xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2+i & -6+7i \\
0 & 1 & 1+i & 5+3i \\
\end{array}\right)
</math>
זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i)</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה
<math>\{\left( \begin{array}{c}
-6+7i-t(-2+i) \\
5+3i - t(1+i)\\
t
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>
===תרגיל 1.5 סעיף ב'===
ברוב השנים לא מתעסקים עם מערכות משוואות מעל שדות סופיים וצריך לדלג
פתור את המערכת הבאה מעל <math>\mathbb{Z}_{11}</math>.
<math>\begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 & |0 \\
7 & 3 & 7 & |0 \\
7 & 9 & 0 & |3
\end{pmatrix}</math>
====פתרון====
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
1 & 2 & 1 & |0 \\
1 & 6 & 0 & |2
\end{pmatrix}</math>
נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 8 & 7 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>
נכפול את השורה השנייה ב7
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 6 & |2
\end{pmatrix}</math>
נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל
<math>\begin{pmatrix}
1 & 5 & 5 & |0 \\
0 & 1 & 5 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |2
\end{pmatrix}</math>
ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>
===תרגיל===
<math>R_3:R_3-R2R_2</math>
<math>R_2:R_2-aR_1</math>
**אם <math>t\neq -3</math> יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
**אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2-3s,s,-1)</math>
=== תרגיל ===
