שינויים
זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי נראה שלמערכת יש אין סוף פתרונות(עוד מעט נאמר את הכלל, אנחנו באים כן מהפרט אל הכלל. ..): נסמן את המשתנה החופשי <math>z=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה
<math>\{\left( \begin{array}{c}
בשורה השלישית קיבלנו <math>0x+0y=4</math> כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.
===מספר פתרונות===
*נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.
*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.
*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.
*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.
===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>
=== פתרון ===
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)
\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)
</math>
ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")
* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)
\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה
<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>
=== צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>A=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>
חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית
===מספר פתרונות===
*נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
*משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא '''משתנה תלוי'''.
*שאר המשתנים נקראים '''משתנים חופשיים'''.
*אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי '''אין פתרונות''' למערכת.
*אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.
===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>
=== פתרון ===
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)
\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)
</math>
ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")
* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)
\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה
<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>
=== תרגיל: צורה מדורגת ומדורגת קנונית ===
אילו מבין ה <math>*</math> במטריצה הבאה
<math>A=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right)</math>
חייבים להיות אפסים בשביל ש:
*<math>A</math> מדורגת
*<math>A</math> מדורגת קנונית
=== תרגיל ===
ולכן הפיתרון הינו: <math>z=2, y=-10=1, x=-10-5=7</math>
===תרגיל===
