'''מסקנה.''' תהי T העתקה לינארית מV לW, עם E וF בסיסים בהתאמה. אזי : מרחב הקואורדינטות של הגרעין הינו <math>[kerT]_E=\{[v]_E:Tv=0\}=\{[v]_E:[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E=0\}=N([T]^E_F)</math>. מרחב הקואורדינטות של התמונה הינו <math>[ImT]_F=\{[Tv]_F:v\in V\}=\{[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E:[v]_E\in\mathbb{F}^n\}=C([T]^E_F)</math>
===אלגוריתם למציאת גרעין ותמונה של העתקה לפי המטריצה המייצגת===
1
\end{array}\right)</math>
מתקיים
<math>Te_{1,1}=T(\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0
\end{array}\right)=0v_{1}+0v_{2}
\\
Te_{1,3}=\left(\begin{array}{c}
\end{array}\right)=-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}
\\
Te_{2,2}=\left(\begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\right)=0v_{1}+0v_{2}
\\
Te_{2,3}=\left(\begin{array}{c}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)</math>
2.
הגרעין של המטריצה המייצגת הוא
<math>ker [T]_{B}^{S} =
N(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
)
=
\{
\begin{pmatrix}
-y\\
x\\
y\\
-t\\
s\\
t\\
\end{pmatrix}
: x,y,s,t\in \mathbb{R}
\}
=span
\{
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
1\\
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
-1\\
0\\
1\\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
\}
</math>
ולכן
<math>Ker T =
span
\{
\begin{pmatrix}
-1& 0& 1 \\
0& 0& 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0& 1& 0 \\
0& 0& 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
-1& 0& 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0& 0& 0 \\
0& 1& 0
\end{pmatrix}
\}
</math>
===תרגיל. (6.14)===
===תרגיל. (6.16)===
תהי <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3</math> העתקה לינארית המוגדרת על ידי <math>T(x,y,z)=(x+y,y+z,2x-2z)</math>
א. מצא בסיס לגרעין ולתמונה של T
כמו כן, נביט בקואורדינטות של כל וקטור התמונה. מכיוון שזהו סכום ישר, יש הצגה יחידה של וקטור בתמונה לפי הבסיס שלנו E. אבל, גם יש לו הצגה יחידה לפי הבסיס לתמונה (שהוא מוכל בE) ולכן הקואורדינטות לפי וקטור הגרעין חייבות להיות אפס, כלומר השורה הראשונה הינה שורת אפסים.
===תרגיל.===