גרסה מ־07:18, 3 באוגוסט 2016

תוכן עניינים

1 דטרמיננטות
- 1.1 חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)
- 1.2 תכונות של הדטרמיננטה
  - 1.2.1 תרגיל
  - 1.2.2 תרגיל

דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית $A\in F^{n\times n}$ היא סקלר $det(A)=|A|\in F$ המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 $A=(\alpha)\in F^{1\times 1}$ היא הערך היחיד במטריצה $det(A)=\alpha$ .

הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}

היא  $det(A)=ad-bc$ .

למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה $A\in F^{n\times n}$ נסמן ב $M_{ij}$ את המטריצה מגודל $n-1 \times n-1$ המתקבלת מ $A$ ע"י מחיקת השורה ה $i$ והעמודה ה $j$ . זה נקרא המינור ה $ij$ של המטריצה.

דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}

למשל

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}

אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה $i$ :

$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה $j$ :

$|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}

נפתח לפי השורה הראשונה:

$|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0$

נפתח גם לפי העמודה השנייה: $|A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0$

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות $|AB|=|A||B|$ .

2. בפרט $|A^k|=|A|^k$ .

3. $|A^t|=|A|$ .

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם $A$ הפיכה אז $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ .

6. $A$ הפיכה אם"ם $|A|\neq 0$ .

למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}

איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין $|A+B|$ לבין $|A|+|B|$ . (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות $A,B\in F^{n \times n}$ כך ש $|A|=2, |B|=-1$ . חשבו את $|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|$ .

פתרון

$|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}$

תרגיל

תהי $B\in F^{3\times 3}$ עם דטרמיננטה $|B|=-1$ . מצא את $|2B|$ .

פתרון

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)

בהכללה: $|\alpha A|=\alpha^n |A|$ .

@@ שורה 67: / שורה 67: @@
 תהי <math>B\in F^{3\times 3}</math> עם דטרמיננטה <math>|B|=-1</math>. מצא את <math>|2B|</math>.
- '''פתרון'''
+'''פתרון'''
 <math>|2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)</math>
 '''בהכללה:''' <math>|\alpha A|=\alpha^n |A|</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11"

גרסה מ־07:18, 3 באוגוסט 2016

תוכן עניינים

דטרמיננטות

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

תכונות של הדטרמיננטה

תרגיל

תרגיל

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים