גרסה מ־18:57, 3 באוגוסט 2016

תוכן עניינים

1 דטרמיננטות
2 המטריצה הנילוות (המצורפת)

דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית $A\in F^{n\times n}$ היא סקלר $det(A)=|A|\in F$ המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 $A=(\alpha)\in F^{1\times 1}$ היא הערך היחיד במטריצה $det(A)=\alpha$ .

הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}

היא  $det(A)=ad-bc$ .

למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה $A\in F^{n\times n}$ נסמן ב $M_{ij}$ את המטריצה מגודל $n-1 \times n-1$ המתקבלת מ $A$ ע"י מחיקת השורה ה $i$ והעמודה ה $j$ . זה נקרא המינור ה $ij$ של המטריצה.

דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} למשל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}

אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה $i$ :

$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה $j$ :

$|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} נפתח לפי השורה הראשונה: $|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0$

נפתח גם לפי העמודה השנייה: $|A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0$

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות $|AB|=|A||B|$ .

2. בפרט $|A^k|=|A|^k$ .

3. $|A^t|=|A|$ .

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם $A$ הפיכה אז $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ .

6. $A$ הפיכה אם"ם $|A|\neq 0$ .

למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין $|A+B|$ לבין $|A|+|B|$ . (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות $A,B\in F^{n \times n}$ כך ש $|A|=2, |B|=-1$ . חשבו את $|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|$ .

פתרון

$|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}$

תרגיל

תהי $B\in F^{3\times 3}$ עם דטרמיננטה $|B|=-1$ . מצא את $|2B|$ .

פתרון

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)

בהכללה: $|\alpha A|=\alpha^n |A|$ .

תרגיל

1. תהי $A$ מטריצה ממשית והפיכה מסדר $n$ המקיימת $A^4+2A=0$ . חשבו את $|A|$ .

2. נניח $A$ מקיימת $A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots +a_1A+I=0$ , הוכיחו כי היא הפיכה.

3.תהיינה $A,B$ ריבועיות מסדר $n$ אי-זוגי מעל שדה ממאפיין שונה מ2. נתון ש $AB+BA=0$ , הוכיחו כי אחת מהמטריצות איננה הפיכה.

פתרון:

1. נעביר אגפים ונקבל $A^4=-2A$ , נקח דטרמיננטה $|A|^4 =(-2)^n|A|$ ולכן $|A|=(-2)^{\frac{n}{3}}$ .

2. נעביר אגפים ונסדר $A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I$ , נקח דטרמיננטה $|A||something|=|-I|=(-1)^n$ . בפרט, $|A|\neq 0$ ולכן $A$ הפיכה.

3. נעביר אגפים $AB=-BA$ ונקח דטרמיננטה $|A||B|=(-1)^n|B||A|$ . נתון ש $n$ אי-זוגי ולכן $|A||B|=-|A||B|$ . זה מכריח ש $|A||B|=0$ ולכן או ש $|A|=0$ ואז $A$ לא הפיכה, או ש $|B|=0$ ואז $B$ לא הפיכה.

תרגיל

תהי $A$ מטריצה ממשית אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי. הוכיחו כי היא איננה הפיכה.

פתרון לפי הנתון $A^t=-A$ ולכן $|A|=|A^t|=|-A|=(-1)^n|A|$ מה שגורר $|A|=0$ .

שיטת הדירוג

טענה תהי $B$ מטריצה המתקבלת ממטריצה $A$ ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם $B$ התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב $\alpha$ אזי $|A|=\frac{1}{\alpha}|B|$ .

2. אם $B$ התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי $|A|=-|B|$ .

3. אם $B$ התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי $|A|=|B|$ .

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה, ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

דוגמא $\begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222$

דוגמא

חשב את $|A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix}$

פתרון ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל $|A|== \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix}$ נחלק את השורה הראשונה ב $a+n-1$ ונקבל: $|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}$

כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל $|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}$

הערה מכיוון ו $|A|=|A^t|$ מותר בחישוב הדטרמיננטה לעשות גם פעולות עמודה אלמנטריות, השינוי בדטרמיננטה הוא דומה.

=תרגיל

נתון ש $\begin{vmatrix}a&b&a\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2$ . חשבו את $\begin{vmatrix} i-4c&f&2i+f\\g-4a&d&2g+d\\h-4b&e&2h+e \end{vmatrix}$ .

פתרון: נשתמש בפעולות שורה ועמודה ונעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה:

$|A|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16$

המטריצה הנילוות (המצורפת)

הגדרה תהי $A\in F^{n\times n}$ , המטריצה נילווית שלה היא המטריצה $adj(A)=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}$ .

(שימו לב להחלפה בין $i$ ו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): j</math !) דוגמא ==המשפט המרכזי== <math>A(adjA)=(adjA)A=|A|I

תוצאה: אם $A$ הפיכה אז $A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$ .

תרגיל

תהי $A\in F^{n\times n}$ מטריצה. 1. הוכח כי $|adjA|=|A|^{n-1}$ . 2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את $adj \left( adjA \right)$ .

פתרון

1. ראשית נניח כי $|A|\neq 0$ , אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: $|AadjA|=||A|I|$ ונקבל $|A||adjA|=|A|^n$ נחלק בדטרמיננטה ואז $|adjA|=|A|^{n-1}$ כדרוש.

כעת נניח $|A|=0$ וצריך להוכיח כי $|adjA|=0$ . לפי המשפט $(adjA)A=|A|I=0$

אם $A=0$ אז ברור ש $adjA=0$ לפי ההגדרה. אחרת, יש איזשהי עמודה של $A$ שהיא לא אפס, $C_k(A)$ . ואז $adjA\cdot C_k(A)=0$ מה שאומר ש $adjA$ לא הפיכה ואז $|adjA|=0$ .

2. נשתמש במשפט עבור המטריצה $B=adjA$ , אזי $(adjA)\cdot (adj(adjA)=|adjA|I$ . ולפי הסעיף הקודם נקבל ש $adj(adjA)=adjA^{-1}|A|^{n-1}$ . ומכיוון ו $adjA^{-1}=\frac{A}{|A|}$ אז $adj(adjA)=A|A|^{n-2}$ .

תרגיל

תהי $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ המקיימת $(A+I)^2=0$ .

א. הוכיחו כי $A$ הפיכה.

ב. הביעו את $adjA$ באמצעות $A,I,|A|$ בלבד.

פתרון:

א. נפתח ונקבל $(A+I)^2 =A^2+AI+IA+I^2=A^2+2A+I$ נעביר אגפים ונקבל $A(-1)(A+2I)=I$ ולכן $A$ הפיכה.

ב.לפי המשפט $adjA=\frac{A^-1}{|A|}$ ולכן בעצם נשאר למצוא ביטוי ל $A^{-1}$ . לפי הסעיף הקודם $A^{-1}=-A-2I$ ולכן $adjA=(-A-2I)|A|^{-1}$ .

תרגיל

תהי $A\in \mathbb{Q}^{n\times n}$ ונתון שהיא הפיכה ב $\mathbb{R}^{n\times n}$ (כלומר שיש מטריצה ממשית $B$ כך ש $AB=BA=I$ ). הוכיחו כי היא הפיכה ב $\mathbb{Q}^{n\times n}$ .

פתרון: מכיוון שמטריצה הפיכה היא יחידה, לא יתכן שב $\mathbb{Q}^{n\times n}$ יש מטריצה הופכית אחרת. כך שבעצם יש להראות ש $A^{-1}$ הממשית היא בעצם עם איברים ב $\mathbb{Q}$ .

לפי המשפט $A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$ . $|A|\in \mathbb{Q}$ כי הדטרמיננטה זה סכומים של מכפלות של איברי $A$ שהם רציונליים. $adjA\in \mathbb{Q}^{n\times n}$ כי האיברים הם $(-1)^{i+j}|M_{ji}|$ שהם גם רציונלים (כמו קודם). סה"כ קיבלנו $A^{-1}\in \mathbb{Q}^{n\times n}$ .