88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־07:51, 3 באוגוסט 2016 מאת 464497330 (שיחה | תרומות) (שיטת הדירוג)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למערכי התרגול

דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית A\in F^{n\times n} היא סקלר det(A)=|A|\in F המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

  • הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 A=(\alpha)\in F^{1\times 1} היא הערך היחיד במטריצה det(A)=\alpha.
  • הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}
היא det(A)=ad-bc.

למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה A\in F^{n\times n} נסמן ב M_{ij} את המטריצה מגודל n-1 \times n-1 המתקבלת מA ע"י מחיקת השורה הi והעמודה הj. זה נקרא המינור הij של המטריצה.

דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} למשל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}


אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה הi:

|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה הj:

|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|

לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} נפתח לפי השורה הראשונה: |A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0

נפתח גם לפי העמודה השנייה: |A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות |AB|=|A||B|.

2. בפרט |A^k|=|A|^k.

3. |A^t|=|A|.

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם A הפיכה אז |A^{-1}|=|A|^{-1}.

6. A הפיכה אם"ם |A|\neq 0.


למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין |A+B| לבין |A|+|B|. (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות A,B\in F^{n \times n} כך ש |A|=2, |B|=-1. חשבו את |(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|.

פתרון

|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}

תרגיל

תהי B\in F^{3\times 3} עם דטרמיננטה |B|=-1. מצא את |2B|.

פתרון

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)


בהכללה: |\alpha A|=\alpha^n |A|.

שיטת הדירוג

טענה תהי Bמטריצה המתקבלת ממטריצה A ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם B התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב\alpha אזי |A|=\frac{1}{\alpha}|B|.

2. אם B התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי |A|=-|B|.

3. אם B התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי |A|=|B|.

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה, ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

דוגמא \begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222

דוגמא

חשב את |A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix}

פתרון ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל |A|== \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix} נחלק את השורה הראשונה בa+n-1 ונקבל: |A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}

כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל |A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}