88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11

חזרה למערכי התרגול

דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית $A\in F^{n\times n}$ היא סקלר $det(A)=|A|\in F$ המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

• הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 $A=(\alpha)\in F^{1\times 1}$ היא הערך היחיד במטריצה $det(A)=\alpha$.

• הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}

היא $det(A)=ad-bc$.

למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה $A\in F^{n\times n}$ נסמן ב $M_{ij}$ את המטריצה מגודל $n-1 \times n-1$ המתקבלת מ$A$ ע"י מחיקת השורה ה$i$ והעמודה ה$j$. זה נקרא המינור ה$ij$ של המטריצה.

דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} למשל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}

אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה$i$:

$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה$j$:

$|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$

לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} נפתח לפי השורה הראשונה: $|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0$

נפתח גם לפי העמודה השנייה: $|A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0$

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות $|AB|=|A||B|$.

2. בפרט $|A^k|=|A|^k$.

3. $|A^t|=|A|$.

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם $A$ הפיכה אז $|A^{-1}|=|A|^{-1}$.

6. $A$ הפיכה אם"ם $|A|\neq 0$.

למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין $|A+B|$ לבין $|A|+|B|$. (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות $A,B\in F^{n \times n}$ כך ש $|A|=2, |B|=-1$. חשבו את $|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|$.

פתרון

$|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}$

תרגיל

תהי $B\in F^{3\times 3}$ עם דטרמיננטה $|B|=-1$. מצא את $|2B|$.

פתרון

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)

בהכללה: $|\alpha A|=\alpha^n |A|$.

שיטת הדירוג

טענה תהי $B$מטריצה המתקבלת ממטריצה $A$ ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם $B$ התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב$\alpha$ אזי $|A|=\frac{1}{\alpha}|B|$.

2. אם $B$ התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי $|A|=-|B|$.

3. אם $B$ התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי $|A|=|B|$.

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה, ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

דוגמא $\begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222$

דוגמא

חשב את $|A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix}$

פתרון ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל $|A|== \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix}$ נחלק את השורה הראשונה ב$a+n-1$ ונקבל: $|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}$

כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל $|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}$

המטריצה הנילוות (המצורפת)

הגדרה תהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): A\in F^{n\times n

, המטריצה נילווית שלה היא המטריצה $adj(A)=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}$.

(שימו לב להחלפה בין $i$ ו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): j</math !) דוגמא ==המשפט המרכזי== <math>A(adjA)=(adjA)A=|A|I

תוצאה: אם $A$ הפיכה אז $A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$.

תרגיל

תהי $A\in F^{n\times n}$ מטריצה. 1. הוכח כי $|adjA|=|A|^{n-1}$. 2. חשבו את $adj \left( adjA \right)$.

פתרון

1. ראשית נניח כי $|A|\neq 0$, אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: $|AadjA|=||A|I|$ ונקבל $|A||adjA|=|A|^n$ נחלק בדטרמיננטה ואז $|adjA|=|A|^{n-1}$ כדרוש.

כעת נניח $|A|=0$ וצריך להוכיח כי $|adjA|=0$. לפי המשפט $(adjA)A=|A|I=0$

אם $A=0$ אז ברור ש $adjA=0$ לפי ההגדרה. אחרת, יש איזשהי עמודה של $A$שהיא לא אפס, $C_k(A)$. ואז $adjA\cdot C_k(A)=0$ מה שאומר ש$adjA$ לא הפיכה ואז $|adjA|=0$.