[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
=שיעור שני=
==אלגברת מטריצות==
הגדרה: האיבר הij בכפל AB מוגדר להיות אוסף המטריצות מגודל <math>[AB]_m\times n</math> עם כניסות ב <math>\mathbb{ijF}=</math> מסומן כ <math>\sum_mathbb{k=1F}^na_{ikm\times n}b_</math> או <math>M_{m\times n}(\mathbb{kjF})</math>
ניתן לבצע את הכפל AB אם"ם מספר העמודות של '''הערה: שתי מטריצות <math>A זהה למספר השורות של =B </math> שוות, אם הם מאותו גודל ולכל <math>i,j</math> מתקיים <math>A_{i,j}=B_{i,j}</math> ׁ(ונקרא n בנוסחא למעלהכלומר שוות בכל כניסה). אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי.'''
על מטריצות ניתן להגדיר את הפעולות הבאות: '''חיבור/חיסור מטריצות '''יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי החיבור בניהם<math>A+B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מוגדר (ע"י הגדרת הכניסה ה <math>i,j</math>) <math>(A+B)_{ij}:=(A)_{ij}+(B)_{ij}</math>. לדוגמא <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 4\\5 & 6 & 7\end{array}\right)</math> '''כפל בסקלאר''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\alpha\in\mathbb{F}</math> אזי הכפל בניהם <math>\alpha\cdot A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מוגדר <math>(\alpha A)_{ij}=\alpha(A)_{ij}</math> לדוגמא <math>3\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3 & 6 & 9\\12 & 15 & 18\end{array}\right)</math> הגדרה: '''כפל מטריצות''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math> (שימו לב שמספר העמודות של A זהה למספר השורות של B ) אזי המכפלה<math>AB\in \mathbb{F}^{m\times k}</math> והאיבר הij בכפל AB מוגדר להיות <math>[AB]_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}</math> בצורה גרפית ניתן לראות את <math>[AB]_{ij}</math> כמכפלה של * הבאות- <math>\begin{array}{ccc} & & j\\i & \left(\begin{array}{cccc}\\\negmedspace* & * & \cdots & *\\\\\end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} & *\\ & *\\ & \vdots\\ & *\end{array}\right)\end{array}</math> דוגמא <math>A=\left(\begin{array}{cc}1 & 5\\-2 & 3\\3 & -7\end{array}\right)_{3\times2},\, B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)_{2\times2}</math> אזי <math>AB\in \mathbb{R}^{3\times2}</math> . נחשב את המקדם 1,1 של המכפלה <math>(AB)_{11}= \left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}-1 \\1 \\ \end{array}\right) = 1\cdot(-1)+5\cdot1=4,\</math> אמנם פעולת הכפל נראית משונה, אך נראה בהמשך כי היא משמעותית למדי. === תכונות ===כאשר הפעולות מוגדרות מתקיים כי *כפל מטריצות קיבוצי כלומר <math>(AB)C=A(BC)</math>. (לא מומלץ לעשות בתירגול) הוכחה: נסמן <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times p},\, C\in \mathbb{F}^{p\times l}</math> קל לראות שבני האגפים מקבלים מטריצה מגודל <math>m\times l</math>. נראה שהכניסות שוות <math>((AB)C)_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{p}(AB)_{ik}(C)_{kj}=\sum\limits _{k=1}^{p}\sum\limits _{s=1}^{n}(A)_{is}(B)_{sk}(C)_{kj}</math> . מצד שני<math>(A(BC))_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}(A)_{ik}(BC)_{kj}=\sum\limits _{k=1}^{n}(A)_{ik}\sum\limits _{s=1}^{p}(B)_{ks}(C)_{sj}=\sum\limits _{k=1}^{n}\sum\limits _{s=1}^{p}(A)_{ik}(B)_{ks}(C)_{sj}</math> . קיבלנו שיוויון. * פילוג: מתקיים כי <math>A(B+C)=AB+BC</math>* הוצאת סקלאר <math>\alpha</math>: מתקיים כי <math>\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)</math>*חילוף בחיבור <math>A+B=B+A</math>* '''הערה: באופן כללי, כפל מטריצות אינו חייב להיות חילופי. כלומר, לא תמיד AB=BA !!''' === חזרה למערכת משוואות לינארית === אבחנה: ראינו כי מערכת משוואות<math>\begin{array}{ccc}a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2+ \dots + a_{1,n}x_n& = & b_1 \\a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2+ \dots + a_{2,n}x_n& = & b_2 \\\vdots & & \\a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2+ \dots + a_{m,n}x_n& = & b_m \\\end{array}</math> ניתן להציג במטריצה <math>(A|b)</math> כאשר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> היא '''מטריצת המקדמים''' (הכניסה ה i,j שלה שווה ל <math>a_{i,j}</math>) ו <math>b\in \mathbb{F}^{m\times 1}</math> הוא '''וקטור הפתרון''' (הכניסה ה i,1 שלו שווה ל <math>b_i</math>). כעת נגדיר את וקטור הנעלמים <math>x\in \mathbb{F}^{n\times 1}</math><math>x=\left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2\\\vdots \\x_n\end{array}\right)</math> בסימונים אלו ובהגדרת כפל מטריצות מתקיים כי <math>Ax=b</math> בדיוק מייצג את מערכת המשוואות הלינארית. מכאן והלאה נשתמש ב <math>Ax=b</math> בלי (אולי) להדגיש את גודל המטריצה (בדר"כ <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> גם אם לא צוין) . בנוסף לעיתים נתייחס ל <math> \mathbb{F}^{n\times 1}</math> כ <math> \mathbb{F}^{n}</math>
===תרגיל 3.4 ג-ז===
נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b (זה זמן טוב לראות דוגמא ראשונה של המשמעות של כפל מטריצות). נסמן ב <math>H=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=0\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב<math>L=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=b\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:
====ג(עושים בהרצאה)====אם נניח <math>L </math> אינה קבוצה ריקהויהא <math>v_1\in L</math> פתרון למערכת הלא הומוגנית. הוכח כי <math>L=\{v_1+v|v\in H\}=v_1 + H</math>. במילים אחרות, אזי כמות הפתרונות בH שווה לכמות הפתרונות בLכל פתרון של המערכת הלא הומגונית מתקבל מפתרון למערכת ההומוגנית + <math>v_1</math>.
(גם להיפך מתקיים <math>H=L-v_1 =\{v-v_1 : v\in L\}</math>
=====פתרון=====
נוכיח את הטענה על ידי יצירת פונקציה חח"ע ועל בין H לבין Lהכלה דו כיוונית. יהיה כיוון ראשון (<math>x\in Lsubseteq</math> כלשהו (הקיים לפי הנתון). נביט בהעתקה יהא <math>f:w\in L</math> צ"ל <math>w\rightarrow in v_1 +H</math> המוגדרת ע"י . נגדיר <math>f(y)v=yw-xv_1</math>. יש ואז <math>w=v_1 + v</math> נותר להוכיח כי זו אכן פונקציה מוגדרת היטב <math>v\in H</math> (כלומר, yכי מתקיים <math>Av=0</math>).אכן <math>Av=A(w-x הוא פתרון של המערכת ההומוגניתv_1) ואז יש להראות כי זה פונקציה חח"ע ועל=Aw-Av_1 = b-b =0</math>.
דבר ראשון, נבדוק האם y-x הינו פתרון של המערכת ההומוגנית. כיוון שני (<math>A(y-x)=Ay-Ax=b-b=0\supseteq</math> כפי שרצינו.)
דבר שני, נניח כי ניקח <math>y_1v\neq y_2in H</math> לכן ברור שכלשהו ונוכיח כי <math>y_1-xv_1+v\neq y_2-xin L</math> (במילים, לכל שני פתרונות שונים מL מתאימים שני פתרונות שונים בH).
דבר שלישיאכן, נראה כי לכל פתרון y בH, יש פתרון בL הנשלח אליו. פתרון זה הינו כמובן y+x שכן <math>A(yv_1+xv)=AyAv_1+AxAv=b+0+b=b</math>.
לכן סהמסקנה: אם <math>L</math> אינה ריקה קיימת התאמה חח"כ הראנו כי לכל פתרון בL מתאים פתרון יחיד בH ולכן הקבוצות הנ"ל הן באותו גודלע ועל <math>f:H\to L</math> המוגדרת <math>f(v)=v_1+v</math> (בלשון פורמאלית L ו H שוות עוצמה.בלשון לא פורמאלית ב L ו H יש אותם כמות איברים)
====ד====
=====פתרון=====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>Ab=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד (0,0).
====ה====
=====פתרון=====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>Ab=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b מעל הממשיים ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש אינסוף פתרונות.קבוצת הפתרונות היא <math>\{\left( \begin{array}{c}-t \\t\\\end{array}\right): \, t\in \mathbb{R} \}</math>
====ו(בקיץ לא לומדים שדות סופיים)====
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש 7 פתרונות למערכת ההומוגנית
=====פתרון=====
נדרג את המטריצה A. מכיוון שאין פתרונות למערכת הלא-הומוגנית, חייבת להיות בצורה המדורגת של A שורת אפסים (אחרת יש אותו מספר של איברים מובילים ושל משתנים ולכן אין משתנים חופשיים וכל משתנה נקבע באופן יחיד על ידי וקטור הפתרונות). מכיוון שיש שורת אפסים בצורה המדורגת, יש משתנה חופשי ולכן יש יותר מפתרון אחד למערכת ההומוגנית (מספר הפתרונות הוא מספר האיברים בשדה בחזקה מספר המשתנים החופשיים, ובכל שדה יש לפחות שני איברים שונים).
===סוגים שונים של כפל מטריצות===
בנוסף לכפל הרגיל, '''חשוב מאד''' לדעת גם כפל-שורה וכפל-עמודה:
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} -R_1- \\ -R_2- \\ \vdots \\ -R_n- \end{pmatrix}</math> ששורותיה הן <math>R_1,...,R_n</math>, ונביט בוקטור השורה <math>x=(a_1,...,a_n)</math>. מתקיים ש<math>xA=\sum_{i=1}^na_iR_i</math>. במילים - הכפל של השורה x במטריצה A הינה סכום של שורות A כפול הקבועים מהשורה x. נובע בקלות שהשורה ה-j בכפל AB הינה סכום שורות B כפול הקבועים המתאימים מהשורה ה-j של A. למעשה זהו מקרה פרטי של הכפל הרגיל BA עבור מטריצה B=x מגודל 1על n ומטריצה A מגודל n על m, ולכן התוצאה שנקבל היא מטריצה 1 על m הלא הוא וקטור כפל שורה.שורה ====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} -R_1- \\ -R_2- \\ \vdots \\ -R_n- \end{pmatrix}</math> ששורותיה הן <math>R_1,...,R_n</math>, ונביט בוקטור השורה <math>x=(a_1,...,a_n)</math>. מתקיים ש<math>xA=\sum_{i=1}^na_iR_i</math>. במילים - הכפל של השורה <math>x</math> במטריצה <math>A</math> הינה סכום של שורות <math>A</math> כפול הקבועים מהשורה <math>x</math>. נובע בקלות שהשורה ה-j בכפל <math>AB</math> הינה סכום שורות <math>B</math> כפול הקבועים המתאימים מהשורה ה-j של <math>A</math>. למעשה זהו מקרה פרטי של הכפל הרגיל <math>AB</math> עבור מטריצה <math>A=x\in \mathbb{F}^{1\times n}</math> ומטריצה <math>B\in \mathbb{F}^{n\times m}</math>, ולכן התוצאה שנקבל היא מטריצה 1 על m הלא הוא וקטור שורה.
דוגמא
<math>A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 5\\
-2 & 3\\
3 & -7
\end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 2
\end{array}\right)</math>.
אזי
<math>R_{3}(AB)=R_{3}(A)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}
3 & -7\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 2
\end{array}\right)=
\\
3\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\end{array}\right)+(-7)\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-3 & 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
-7 & -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-10 & -11\end{array}\right)</math>
==== כפל עמודה עמודה ====
באופן דומה, נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} C_1 & C_2 & \cdots & C_m \end{pmatrix}</math> שעמותודיה הן <math>C_1,...,C_m</math>, ונביט בוקטור העמודה <math>x=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix}</math>. מתקיים ש<math>Ax=\sum_{i=1}^ma_iC_i</math>. במילים - '''הכפל של מטריצה בעמודה שווה לסכום עמודות המטריצה כפול הקבועים מהעמודה'''. נובע בקלות שהעמודה ה-j בכפל AB שווה לסכום עמודות A כפול הקבועים המתאימים מהעמודה ה-j של B. שימו לב שמערכת משוואות הינה מקרה פרטי של כפל-עמודה. למעשה זהו מקרה פרטי של הכפל הרגיל AB עבור מטריצה A מגודל n על m ומטריצה B=x מגודל m על 1, ולכן התוצאה שנקבל היא מטריצה n על 1 הלא הוא וקטור עמודה כפי שאכן מתקבל במערכת משוואות.
דוגמא
<math>A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 5\\
-2 & 3\\
3 & -7
\end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & 2
\end{array}\right)</math>
אזי
<math>C_{2}(AB)=A\cdot C_{2}(B)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 5\\
-2 & 3\\
3 & -7
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
2
\end{array}\right)=1\left(\begin{array}{c}
1\\
-2\\
3
\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}
5\\
3\\
-7
\end{array}\right)= \\
\left(\begin{array}{c}
1\\
-2\\
3
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
10\\
6\\
-14
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
11\\
4\\
-11
\end{array}\right)</math>
=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?
===תרגיל 3.7===
תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>B=(v,w,v+w,v-w,w-v)</math> חשב את AB
====פתרון====
לפי כפל עמודה עמודה (או כפל של מטריצות בלוקים) קל לוודא ש <math>AB=(b,0,b,b,-b)</math>
====כפל מטריצת בלוקים (אפשר לדלג) ====
'''מטריצת בלוקים'''. מטריצה בלוקים הינה מטריצה הבנוייה ממספר מטריצות קטנות יותר (המכונות בלוקים). לדוגמא, ניקח את המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. אזי מטריצת הבלוקים מוגדרת להיות <math>C=(A|B)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math>
'''הוכחה''': נובע בקלות מכפל-עמודה המוזכר לעיל.
===תרגיל 3.7===באופן כללי יהיו תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>BM_1 =\left(v\! \begin{array}{c|c}A & B \\\hline C & D\\\end{array}\!\right),w\,v+w,v-w,w-vM_2 = \left(\! \begin{array}{c|c}X & Y \\\hline Z & W\\\end{array}\!\right)</math> חשב את AB
====פתרון====לפי כפל מטריצות בלוקים קל לוודא ש </math>AB=כך שכל הכפלים הבאים מוגדרים (b,0,b,b,-bמבחנית גדלי המטריצות)</math>אזי מתקיים
<math>M_1\cdot M_2 =
\left(\! \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} &
\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ W \end{pmatrix} \\
\hline
\begin{pmatrix} C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} &
\begin{pmatrix} C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ W \end{pmatrix} \\
\end{array}\!\right)
</math>
במילים אחרות: כאשר הכפל מוגדר אפשר להכפיל בלוקים של מטריצה כאילו היו איברים במטריצה!
===שחלוף וסימטריות===
'''הגדרה''': תהי מטריצה <math>A \in F^{n \times m}</math>. אזי המטריצה המשוחלפת <math>A^t \in F^{m \times n}</math> מוגדרת ע"י <math>[A^t]_{ij}=[A]_{ji}</math>. כלומר, האיבר בשורה ה-i והעמודה ה-j של המטריצה המשוחלפת הוא האיבר בשורה ה-j והעמודה ה-i של המטריצה המקורית - הפכנו את השורות לעמודות, ואת העמודות לשורות.
'''דוגמא''': אם <math>A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}</math> אזי <math>A^t=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}</math>
'''הגדרה''': מטריצה נקראת סימטרית אם היא שווה למשוחלפת של עצמה; כלומר <math>A=A^t</math> (השורות והעמודות שלה זהות). מטריצה נקראת אנטי-סימטרית אם <math>A=-A^t</math>
לדוגמא
<math>\left(\begin{array}{cc}
2 & a\\
a & 5
\end{array}\right)</math> סימטרית
ו-
<math>\left(\begin{array}{cc}
0 & -a\\
a & 0
\end{array}\right)</math> אנטי סימטרית.
'''תכונות''':
*<math>(A^t)^t=A</math>
*לכל שתי מטריצות מאותו סדר A,B מתקיים <math>(A+B)^t = A^t+B^t</math>
*לכל מטריצה A ולכל קבוע מהשדה c <math>\alpha</math> מתקיים ש <math>(cA\alpha A)^t= c\alpha (A^t)</math>
===תרגיל 4.4===
א. הוכח שלכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית.
ב. הוכח שלכל מטריצה ריבועית A (כלומר <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> )מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> סימטרית, ואילו המטריצה <math>A-A^t</math> אנטי סימטרית.
====פתרון====
===תרגיל 4.5===
א. תהי A מטריצה ריבועית ממשית (כלומר שאיבריה משדה הממשיים) אנטי סימטרית. הוכח שכל איברי האלכסון שלה שווים לאפס.
ב. (כשמלמדים שדות סופיים) האם הטענה נכונה למטריצות ריבועיות אנטי סימטריות מעל שדות אחרים? אפיין בדיוק את השדות מעליהם הטענה נכונה.
====פתרון====
לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.
===תרגיל===
מצאו מטריצה ממשית שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה יחידה כזאת.
==מטריצות ריבועיות==
'''הגדרה''': העקבה (trace) של מטריצה ריבועית הינה סכום איברי האלכסון של המטריצה. היא <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>
תכונותמטריצות מיוחדות :*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
הגדרה: * מטריצת היחידה <math>I</math> הינה המטריצה שעל האלכסון שלה יש אחדות, ואפס בכל מקום אחר. לכל מטריצה ריבועית A מתקיים AI=IA=A.היא
===תרגיל 5.10 וחצי===הוכח שלא קיימות מטריצות ריבועיות ממשיות כך ש <math>AB-BAI_{n}=I\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & \ddots & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)</math>. האם הדבר נכון לכל שדה?
====פתרון====נפעיל עקבה על שני האגפים, ונקבל מצד אחד מטריצה היחידה מקיימת את התכונה שלכל מטריצה ריבועית <math>trace(AB-BA)=trace(AB)-trace(BA)=0A</math> ומצד שני מתקיים כי <math>trace(A\cdot I=I)\cdot A =1+1+...+1A</math>. מעל הממשיים סכום אחדות לעולם אינו מתאפס ולכן השיוויון הנ"ל לא ייתכן.
מעל שדה עם מאפיין סופי השיוויון אפשרי, לדוגמא מעל * מטריצת האפס היא<math>\mathbb0_{Zn}_2</math> עבור המטריצות <math>A=\left(\begin{pmatrixarray}{ccc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 ddots & 0\end{pmatrix}</math> מתקיים ש <math>AB-BA = A=\begin{pmatrix}1 0 & 0 \\ & 0 & -1\end{pmatrixarray}=I\right)</math> (מכיוון ש<math>1=-1</math>).
===תרגיל 5.11===א. תהא A מטריצה ממשית כך ש האפס מקיימת את התכונה שלכל מטריצה ריבועית <math>tr(AA^t)=0A</math> הוכח ש-A הינה מטריצת האפס.
ב. תהא A מטריצה מרוכבת כך ש מתקיים כי <math>tr(AA^*)A\cdot 0=0</math> הוכח ש-A הינה מטריצת האפס. (<math>\cdot A^*:=\overline{A^t}0</math>)
====פתרון====א. נסמן ב וגם <math>R_i(A)</math> את השורה ה-i של המטריצה A וב <math>C_i(A)</math> את העמודה ה-i של המטריצה A. מכיוון שהמטריצה המשוחלפת מתקבלת על ידי החלפת שורות ועמודות של המטריצה המקורית תמיד מתקיים ש <math>[R_i(+ 0=0+ A)]^t=C_i(A^t)</math> (השחלוף החיצוני הינו על מנת להפוך את וקטור השורה לוקטור עמודה).
כמו כן, נשים לב שבכפל מטריצות מתקיים תמיד <math>[AB]_{ij}=R_i(A)B_j(B)</math>.*מטריצה משולשית
:* מטריצה משולשית עליונה היא מהצורה
כעת, <math>tr(AA^t)A=\sum_left(\begin{i=1array}^m[AA^t]_{iiccc}=* & * & *\sum_\0 & \ddots & *\\0 & 0 & *\end{i=1array}^mR_i(A)C_i(A^t)=\sum_right)</math> כלומר <math>a_{i=1ij}^mR_i(A)(R_i(A))^t=0</math> לכל <math>j<i</math>.
:* מטריצה משולשית תחתונה היא מהצורה
נשים לב שבאופן כללי, בהנתן <math>vA=\left(x_1,...,x_n\begin{array}{ccc}* & 0 & 0\\* & \ddots & 0\\* & * & *\end{array}\right)</math> מתקיים ש כלומר <math>vv^t a_{ij}= (x_1)^2+(x_2)^2+...+(x^n)^20</math> לכל <math>i<j</math>.
* מטריצה אלכסונית היא מהצורה
ביחד ניתן להסיק ש<math>trA=\left(AA^t\begin{array}{ccc}* & 0 & 0\\0 & \ddots & 0\\0 & 0 & *\end{array}\right)</math> שווה לסכום הריבועים של '''כל איברי המטריצה'''. מכיוון שריבוע גדול או שווה לאפס, מתקיים שסכום ריבועים הוא אפס אם"ם כל האיברים הם אפס, ולכן המטריצה הינה מטריצת האפס כלומר <math>a_{ij}=0</math> לכל <math>i\not=j</math> .
ב. עבור המרוכבים ההוכחה הינה דומה, פשוט מקבלים עבור וקטור מרוכב כללי <math>v=(z_1,...,z_n)</math> מתקיים ש <math>vv^*=|z_1|^2+...+|z_n|^2</math> ואז בעזרת טענה דומה מקבלים שכל איברי המטריצה הינם אפס.מטריצה סקלארית היא מהצורה
===מטריצות הפיכות===הגדרה: מטריצה A נקראת '''הפיכה''' אם קיימת מטריצה B כך ש <math>ABA=BA\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 0 & 0\\0 & \ddots & 0\\0 & 0 & \alpha\end{array}\right)=I</math>. במקרה זה, מטריצה B נקראת '''ההופכית''' של A ומסומנת <math>B=A^\alpha I_{-1n}</math>.
תכונות:==== תרגיל ====*מטריצה הפיכה הוכיחו כי כפל של סקלאריות היא בהכרח ריבועיתסקאלרית*אם A '''ריבועית''' ו<math>AB=I</math> אזי גם <math>AB=BA=I</math> וB הינה ההופכית הוכיחו שכפל של Aאלכסוניות היא אלכסונית*<math>הוכיחו כי כפל של משולשיות (ABמאותו סוג)^{-1}הוא משולשית (מאותו סוג).=== עקבה ===B^{-1}A^{-1}</math>
'''הגדרה''': העקבה (trace) של מטריצה ריבועית הינה סכום איברי האלכסון של המטריצה. '''תכונות''':*<math>tr(A^t)=tr(A)</math>*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>*<math>tr(\alpha A)=\alpha \cdot tr(A)</math> ===תרגיל 65.1 10 וחצי===הוכח שאם A הפיכה גם המשוחלפת שלה הפיכה ומתקיים שלא קיימות מטריצות ריבועיות ממשיות כך ש <math>(A^t)^{AB-1}BA=(A^{-1})^tI</math>. הסק שאם A הפיכה וסמטרית אזי גם ההופכית שלה סימטרית.האם הדבר נכון לכל שדה?
====פתרון====
נניח A הפיכהנפעיל עקבה על שני האגפים, אזי קיימת לה הופכית כך ש ונקבל מצד אחד <math>AA^{trace(AB-1}BA)=Itrace(AB)-trace(BA)=0</math>. נשחלף את ומצד שני האגפים ונקבל <math>trace(A^{-1}I)^tA^t=I^t=I1+1+...+1</math> ומכאן המש. מעל הממשיים סכום אחדות לעולם אינו מתאפס ולכן השיוויון הנ"ל כיוון שA ריבועית וכך גם המשוחלפת שלהלא ייתכן.
אם A הפיכה וסימטרית מתקיים מעל שדה עם מאפיין סופי השיוויון אפשרי, לדוגמא מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> עבור המטריצות <math>(A^=\begin{-pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix})^t,B=(A^t)^\begin{-pmatrix}0 & 0 \\ 1& 0\end{pmatrix}</math> מתקיים ש <math>AB-BA =A^=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}=I</math> כלומר ההופכית גם סימטרית(מכיוון ש<math>1=-1</math>).
===תרגיל 5.11===
א. תהא A מטריצה ממשית כך ש <math>tr(AA^t)=0</math>. הוכח ש-A הינה מטריצת האפס.
ב. תהא A מטריצה מרוכבת כך ש <math>tr(AA^*)==מטריצות אלמנטריות==דיברנו כבר על פעולות שורה אלמנטריות כאשר דיברנו על פעולות שלא משנות את מרחב הפתרונות של המערכת המתאימה למטריצה0</math>. נזכיר מהן פעולות השורה האלמנטריותהוכח ש-A הינה מטריצת האפס. (<math>A^*:=\overline{A^t}</math>)
# <math>R_i \leftrightarrow R_j</math>====פתרון====# א. נסמן ב <math>R_i \rightarrow \alpha R_i(A)</math>, כאשר את השורה ה-i של המטריצה A וב <math>0\neq\alpha\in\mathbb{F}C_i(A)</math># את העמודה ה-i של המטריצה A. מכיוון שהמטריצה המשוחלפת מתקבלת על ידי החלפת שורות ועמודות של המטריצה המקורית תמיד מתקיים ש <math>[R_i \rightarrow R_i+\alpha R_j</math> כאשר <math>i\neq j(A)]^t=C_i(A^t)</math>(השחלוף החיצוני הינו על מנת להפוך את וקטור השורה לוקטור עמודה).
פעולת שורה היא למעשה פונקציה שניתן להפעיל על כל מטריצה. למשל נסמן את פעולת השורה כמו כן, נשים לב שבכפל מטריצות מתקיים תמיד <math>R_1\rightarrow R_1-R_2[AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)</math> באות <math>\rho</math> אזי מתקיים לדוגמא:.
<math>\rho\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
כעת, <math>tr(AA^t)=\rho\beginsum_{pmatrix}i=1 & 2 \\ 3 & 4\end}^m[AA^t]_{pmatrixii}=\beginsum_{pmatrixi=1}-2 & -2 \^mR_i(A)C_i(A^t)=\ 3 & 4\endsum_{pmatrixi=1}^mR_i(A)(R_i(A))^t</math>
נשים לב שבאופן כללי, בהנתן <math>v=(x_1,...,x_n)</math> מתקיים ש <math>vv^t ==מטריצות אלמנטריות===מטריצת שורה אלמנטרית היא מטריצה המתקבלת מהפעלת פעולת שורה אלמנטרית על מטריצת היחידה(x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_n)^2</math>.
משפט: לכל מטריצה A מתקיים ש <math>\rho(A) = \rho(I)A</math>.
כלומרביחד ניתן להסיק ש<math>tr(AA^t)</math> שווה לסכום הריבועים של '''כל איברי המטריצה'''. מכיוון שריבוע גדול או שווה לאפס, הפעלת פעולת שורה אלמנטרית שקולה לכפל במטריצת השורה האלמנטרית המתאימהמתקיים שסכום ריבועים הוא אפס אם"ם כל האיברים הם אפס, ולכן המטריצה הינה מטריצת האפס.
ב. עבור המרוכבים ההוכחה הינה דומה, פשוט מקבלים עבור וקטור מרוכב כללי <math>v=(z_1,...,z_n)</math> מתקיים ש <math>vv^*=|z_1|^2+...+|z_n|^2</math> ואז בעזרת טענה דומה מקבלים שכל איברי המטריצה הינם אפס.
יש משפט והגדרה דומים עבור מטריצות עמודה אלמנטריות עם כפל בצד השני===תרגיל===ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית. כמו כןהאם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, כל מטריצת שורה אלמנטרית הינה מטריצת עמודה אלמנטרית עבור פעולה מתאימההאם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{m\times m}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש- <math>B=AA^t</math>? ====פתרון====לא. מטריצות אלה נקראות ביחד '''מטריצות אלמנטריות'''למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.
===מסקנה - אלגוריתם למציאת מטריצה הופכיתתרגיל===דירוג ראינו למעלה שלכל מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות המתאימות לפעולות הדירוג. לכן, אם דירגנו מטריצה ריבועית לצורת מטריצה היחידה קיבלנו <math>A\rho_1(I)in \cdotsmathbb{F}^{n\rho_k(I)A=Itimes n}</math> ולפיכך מתקיים שהמטריצה <math>A הפיכה וההופכית שלה +A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\rho_1(I)in \cdotsmathbb{F}^{n\rho_k(I)times n}</math>.קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?
אם נדרג קנונית כן: מגדירים את מטריצת הבלוקים <math>(A|I)</math> נקבל מטריצה מהצורה <math>(I|\rho_1(I)\cdots\rho_k(I))</math> (שכן לפי כפל מטריצת בלוקיםע"י חלוקה ל-3 מקרים: מעל האלכסון 0, כפל במטריצה האלמנטרית מופעל במקביל על כל אחד מהבלוקים). לכן כאשר אנחנו מדרגים את <math>(A|I)</math> עד שנקבל את מטריצת היחידה משמאלמתחת כמו B, מימין נקבל את המטריצה ההופכית <math>(I|A^{באלכסון חצי מ-1})</math>B.