שינויים
/* תרגיל */
הגדרה: '''כפל מטריצות''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times kp}</math> (שימו לב שמספר העמודות של A זהה למספר השורות של B ) אזי המכפלה
<math>AB\in \mathbb{F}^{m\times k}</math> והאיבר הij בכפל AB מוגדר להיות <math>[AB]_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}</math>
=== תכונות ===
כאשר הפעולות מוגדרות מתקיים כי
*כפל מטריצות קיבוצי כלומר <math>(AB)C=A(BC)</math>.
(לא מומלץ לעשות בתירגול) הוכחה: נסמן
\end{array}\right)</math>
=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?
===תרגיל 3.7===
תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>B=(v,w,v+w,v-w,w-v)</math> חשב את AB
לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.
===תרגיל===
מצאו מטריצה ממשית שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה יחידה כזאת.
==מטריצות ריבועיות==
'''תכונות''':
*<math>tr(A^t)=tr(A)</math>
*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
===תרגיל===
ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סיממטרית סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{m\times m}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש- <math>B=AA^t</math>?
====פתרון====
לא. למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.
===תרגיל===
ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?
כן: מגדירים את A ע"י חלוקה ל-3 מקרים: מעל האלכסון 0, מתחת כמו B, באלכסון חצי מ-B.
