\end{array}\right)</math>
=== תרגיל ===
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math>
ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?
===תרגיל 3.7===
תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>B=(v,w,v+w,v-w,w-v)</math> חשב את AB
לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.
===תרגיל===
מצאו מטריצה ממשית שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה יחידה כזאת.
==מטריצות ריבועיות==
'''תכונות''':
*<math>tr(A^t)=tr(A)</math>
*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
===תרגיל===
ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?
כן: מגדירים את A ע"י חלוקה ל-3 מקרים: מעל האלכסון 0, מתחת כמו B, באלכסון חצי מ-B.