דוגמא: אם <math>A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}</math> אזי <math>A^t=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}</math>
הגדרה: מטריצה נקראת סמטרית אם היא שווה למשוחלפת של עצמה <math>A=A^t</math> (השורות והעמודות שלה זהות). מטריצה נקראת אנטי-סימטרית אם <math>A=-A^t</math> תכונות: *לכל שתי מטריצות A,B כך שהכפל מוגדר ש <math>(AB)^t=B^tA^t</math>. *<math>(A^t)^t=A</math>*לכל שתי מטריצות A,B באותו גודל מתקיים <math>(A+B)^t = A^t+B^t</math>*לכל מטריצה A, ולכל קבוע מהשדה c מתקיים ש <math>(cA)^t= c(A^t)</math> ===תרגיל 4.4===א. הוכח שלכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית. ב. הוכח שלכל מטריצה ריבועית A מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> סימטרית, ואילו המטריצה <math>A-A^t</math> אנטי סימטרית. ====פתרון====א. נסמן <math>B=A^t</math>. לפי התכונות לעיל קל לראות ש <math>(AA^t)^t= (AB)^t =B^tA^t = (A^t)^tA^t= AA^t </math> והוכחנו שהמטריצה סימטרית. ב. <math>(A+A^t)^t = A^t + (A^t)^t = A^t+A = A+ A^t</math> (הרי חיבור מטריצות הוא חילופי). כמו כן, <math>(A-A^t)^t = A^t - A = -(A-A^t)</math> כפי שרצינו.