שינויים

*אם A '''ריבועית''' ו<math>AB=I</math> אזי גם <math>AB=BA=I</math> וB הינה ההופכית של A. כלומר מטריצה שהפיכה מצד אחד הפיכה משני צדדים.*תרגיל: הוכח כי <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math> פתרון: מספיק להוכיח רק כי <math>(AB)(B^{-1}A^{-1})=I</math> (לפי משפט ממוקדם) ואכן, בגלל קיבוציות כפל מטריצות + הגדרת הופכית, נקבל כי <math>A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I</math> תרגיל (הכללה): יהיו <math>Aֹ_1,A_2,\dots A_k</math>מטריצות אזי  המכפלה <math>A_1\cdot A_2\cdots A_k </math> הפיכה אמ"מ לכל <math>i</math> מתקיים <math>A_i</math> הפיכה (כל המטריצות הפיכות). במקרה זה <math>(A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1} </math> הוכחה (חלקית):כיוון ראשון (<math>\Rightarrow</math>) : בדיקה ישירה כי <math>(A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1} </math> כיוון שני (<math>\Leftarrow</math>) : נתון שהמכפלה הפיכה. צריך להוכיח שכל אחת מהמטריצות הפיכה. נסמן את ההופכית של המכפלה ב <math>B</math> אזי מתקיים לפי הגדרה כי <math>A_1\cdot A_2\cdots A_k\cdot B=I </math> ומכאן רואים ישירות כי <math>A_1^{-1}=A_2\cdots A_k\cdot B </math>.  כעת נכפיל ב <math>A_1^{-1}</math> משמאל וב <math>A_1</math> מימין ונקבל כי <math> A_2\cdots A_k\cdot B\cdot A_1=I </math>ומכאן ש <math>A_2^{-1}= A_3\cdots A_k\cdot B\cdot A_1</math> וכן על זאת הדרך... מסקנה: אם <math>A</math> הפיכה אזי לכל <math>n</math> טבעי מתקיים כי <math>(A^{n})^{-1}=(A^{-1})^n</math>. נגדיר את <math>A^{-n}</math> כאחד מהביטויים הנ"ל. '''!הערה!'''לא ניתן לדעת שום דבר על הביטוי <math>(A+B)^{-1}</math>. למשל* <math>A=I,B=-I</math> הפיכות ו <math>A+B=0</math> לא הפיכה.* <math>A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)</math> לא הפיכות ו <math>A+B=I</math> הפיכה. ===תרגיל ===תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה עם שורת אפסים. הוכח: <math>A</math> לא הפיכה. ====פתרון==== תהא שורה <math>i</math> שורת האפסים של <math>A</math>.  אזי לכל מטריצה <math>B</math> מתקיים <math>R_{i}(AB)=R_{i}(A)B=\vec{0}B=\vec{0}\neq R_i(I)</math> (לפי כפל שורה שורה) בפרט לא קיימת <math>B</math> כך ש <math>AB=I</math> כיוון ש <math>R_i(I)\neq 0</math>.

דירוג בהנתן מטריצה שקול לכפל במטריצות A הפיכה ניתן לעבור מ A ל- I ע"י פעולות שורה אלמנטריות המתאימות לפעולות . כלומר <math>E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot A=I </math> כאשר <math>E_i</math> היא המטריצה האלמנטרית שמתאימה לפעולה האלמנטרית שביצענו במהלך הדירוג.  מכאן רואים בקלות כי <math>A^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}</math>  כיוון ש <math>E_{k}\cdots E_2 E_{1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot I</math> אז ההופכית מתקבלת מהכפלת המטריצות האלמנטריות ב I (או באופן שיקול ביצוע הפעולות האלמנטריות על I) לכן, אם דירגנו נסתכל על המטריצה <math>(A|I)</math> ונדרג אותה נקבל לאחר הדירוג <math>(I|A^{-1})</math> פעולות הדירוג מתבצעות סימולטנית גם על A וגם על I. ברגע שהגענו מ A ל I אז במקביל הגענו מ I להופכית של A. דוגמא:נמצא את ההופכית של תהא <math>A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)</math> . נעשה פעולות דירוג על <math>(A|I)</math>  <math>\left(\begin{array}{ccc|ccc}0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\xrightarrow{R_{2}-0.5R_{3}\rightarrow R_{2}}\\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\xrightarrow{R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\xrightarrow{0.5R_{3}\rightarrow R_{3}}\\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5\end{array}\right)</math> לפי התיאוריה ממקודם נקבל כי <math>A^{-1}= \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0.5\\ 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0.5\end{array}\right)</math> ====תוספת: הצגת מטריצה ריבועית לצורת מטריצה היחידה כמכפלה של אלמנטריות ==== נשים לב כי קיבלנו ש <math>A^{-1}=E_{k}\rho_1cdots E_2 E_{1}</math> המטריצה ההופכית היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.  ומכאן שגם <math>A</math> ניתנת להצגה של מכפלה של מטריצות אלמנטריות כיוון ש <math>A=(IA^{-1})^{-1}=(E_{k}\cdotsE_2 E_{1})^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}</math>כלומר <math>A</math> היא מכפלת בסדר הפוך של ההופכיות של האלמנטריות. נמשיך בדוגמא להמחיש את הענין.ראינו שהדירוג מ תהא <math>A=\rho_kleft(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)</math> . ל <math>I</math> מתבצע ע"י 4 פעולות שורה. המטריצות האלמנטריות המתאימות הן 1. <math>E_1 = \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)</math> (החלפת שורות 1 ו -2)  2.<math>E_2 = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & -0.5 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)</math> (החסרת חצי שורה 3 משורה 2)  3.<math>E_3 = \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{array}\right)</math> (החסרת שורה 2 משורה 1)  4.<math>E_4 = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0.5 \end{array}\right)</math> (הכפלת שורה 3 בחצי) במילים אחרות <math>E_4E_3E_2E_1A=I</math> ולכן *<math>A^{-1}=E_4E_3E_2E_1</math>*<math>A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}</math> ====הערות ====1. אם אחרי הדירוג של <math>A</math> לא קיבלנו <math>I</math> ולפיכך אזי <math>A</math> אינה הפיכה. הוכחה: נסמן ב <math>E</math> את מכפלת המטריצות האלמנטריות שמדרגות את <math>A</math> לצורה קנונית. ברור כי <math>E</math> הפיכה כמכפלה של מטריצות הפיכות. אם <math>A</math> הפיכה אזי גם <math>EA</math> הפיכה. אבל ב <math>EA</math> יש שורת אפסים כי <math>EA\not=I</math> סתירה לתרגיל מתחילת התרגול. (מסקנה: אחרי דירוג <math>A</math> או שגילינו שהיא לא הפיכה או שמצאנו את ההופכית. ולכן האלגוריתם שראינו מתבצע גם אם לא יודעים מראש ש <math>A</math> הפיכה) 2. בהנתן מטריצה ריבועית <math>A</math>, אזי <math>A</math> הפיכה '''אם ורק אם''' למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון יחיד. פתרון: בכיוון הראשון הפתרון הוא <math>x=A^{-1}b</math>. בכיוון ההפוך, אם היא לא הפיכה אז במדורגת יש שורת אפסים ואז או שורת סתירה או משתנה חופשי. ===תרגיל===תהא <math>A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1\\1 & a & 1\\1 & 1 & a\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> התלויה בפרמטר <math>a</math> 1. עבור אילו ערכי <math>a</math> המטריצה הפיכה 2. עבור איזה ערך <math>a</math> (אם בכלל) מתקיים שהמטריצה כי<math>A ^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\1 & 1 & -1\end{array}\right)</math> ==== פתרון ====הנה הדירוג הרלוונטי  <math>\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1\\1 & a & 1\\1 & 1 & a\end{array}\right)\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\1 & 1 & a\\a & 1 & 1\end{array}\right)\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\0 & 1-a & a-1\\0 & 1-a^{2} & 1-a\end{array}\right)</math> <math>\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(1+a\right)R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\0 & 1-a & a-1\\0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\0 & 1-a & a-1\\0 & 0 & \left(1-a\right)\left(a+2\right)\end{array}\right)</math> ===תרגיל===תהא <math>A</math> מטריצה ריבועית הפיכה וההופכית שלה הינה . תהא <math>B</math> מטריצה המתקבלת מהחלפת שורות 1,2 של <math>A</math>. כלומר <math>A\rho_1xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}B</math>. מה הקשר בין ההופכית של <math>A</math> להופכית של <math>B</math>? ===תרגיל===נסמן <math>A=\left(I\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\1 & 0 & 3\end{array}\right)</math> א. מצאו <math>B\cdotsin \rho_kmathbb{R}^{3\times 2}</math> כך ש- <math>AB=I_2</math>. ב. האם <math>B</math> שמצאתם היא יחידה? ג. האם יש <math>B\in \mathbb{R}^{3\times 2}</math> כך ש- <math>BA=I_3</math>? ====פתרון==== א. ניקח לדוגמא את החלק השמאלי של <math>A</math>, ונמצא לו הופכית ע"י דירוג. נקבל: <math>\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & -1 \end{array}\right)=I_{2\times 2}</math>, ולכן נוכל לקחת <math>B=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & -1 \\0 & 0 \end{array}\right)</math> ונקבל <math>AB=I</math>. ב. היא לא יחידה. אפשר לעשות רעיון דומה עם החלק הימני של <math>A</math> למשל. ג. לא קיימת. נניח בשלילה שקיימת <math>B=\left(\begin{array}{cc}b_1 & b_2 \\b_3 & b_4 \\b_5 & b_6 \end{array}\right)</math>כך ש- <math>BA=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות. ===תרגיל=== תהי <math>0\neq A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>. הוכיחו: <math>A</math> לא הפיכה אם ורק אם היא מחלקת אפס. ====פתרון====משמאל לימין: נתון שהיא מחלקת אפס, ולכן יש <math>B\neq 0</math> כך ש- <math>AB=0</math>. נניח בשלילה ש<math>A</math> הפיכה. לכן יש לה הופכית <math>A^{-1}</math> ונקבל: <math>B=IB=A^{-1}AB=A^{-1}0=0</math> בסתירה.

אם נדרג קנונית את מטריצת הבלוקים מימין לשמאל: <math>(A|I)</math> נקבל מטריצה מהצורה לא הפיכה. לכן בצורה המדוגרת יש שורת אפסים ומשתנה חופשי, ומכאן שיש פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית. כלומר, יש <math>(I|x\rho_1(I)\cdots\rho_k(I))neq 0</math> כך ש- <math>Ax=0</math> (שכן לפי כפל מטריצת בלוקים, כפל במטריצה האלמנטרית מופעל במקביל על כל אחד מהבלוקים). לכן כאשר אנחנו מדרגים ניקח מטריצה <math>B</math> שבכל עמודה יש את וקטור העמודה <math>(A|I)x</math> עד שנקבל את מטריצת היחידה משמאלהנ"ל, מימין נקבל את המטריצה ההופכית (לפי כפל עמודה) <math>(I|A^{-1})AB=0</math>.