שינויים
/* תרגיל */
תהא שורה <math>i</math> שורת האפסים של <math>A</math>.
אזי לכל מטריצה <math>B</math> מתקיים <math>R_{i}(AB)=R_{i}(A)B=\vec{0}B=\vec{0}\neq R_i(I)</math> (לפי כפל שורה שורה)
בפרט לא קיימת <math>B</math> כך ש <math>AB=I</math> כיוון ש <math>R_i(I)\neq 0</math>.
====פתרון====
כיון ש- <math>A+A^2=A(A+I)</math>, ונתון ש- <math>A+A^2</math> הפיכה, לכן <math>A(A+I)</math> הפיכה, ומתרגיל קודם על "מכפלה הפיכה אם ורק אם מוכפלת מהפיכות" נקבל הדרוש. דרך נוספת: נתון שקיימת <math>B</math> כך ש <math>(A+A^2)B=I</math>
אבל זה שווה ל <math>A(A+I)B=I</math> ומכאן ש <math>A^{-1}=(A+I)B</math> הפיכה.
באופן דומה <math>(A+I)AB=I</math> ומכאן ש <math>ׁׂ(A+I)^{-1}=AB</math> הפיכה.
==מציאת הופכית והצגה כמכפלה של מטריצות אלמנטריות==
(מסקנה: אחרי דירוג <math>A</math> או שגילינו שהיא לא הפיכה או שמצאנו את ההופכית. ולכן האלגוריתם שראינו מתבצע גם אם לא יודעים מראש ש <math>A</math> הפיכה)
2. בהנתן מטריצה הפיכה ריבועית <math>A</math> , אזי <math>A</math> הפיכה '''אם ורק אם''' למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון יחיד והוא . פתרון: בכיוון הראשון הפתרון הוא <math>x=A^{-1}b</math>. בכיוון ההפוך, אם היא לא הפיכה אז במדורגת יש שורת אפסים ואז או שורת סתירה או משתנה חופשי. ===תרגיל===תהא <math>A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1\\1 & a & 1\\1 & 1 & a\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> התלויה בפרמטר <math>a</math> 1. עבור אילו ערכי <math>a</math> המטריצה הפיכה 2. עבור איזה ערך <math>a</math> (אם בכלל) מתקיים כי<math>A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\1 & 1 & -1\end{array}\right)</math> ==== פתרון ====הנה הדירוג הרלוונטי <math>\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1\\1 & a & 1\\1 & 1 & a\end{array}\right)\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\1 & 1 & a\\a & 1 & 1\end{array}\right)\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\0 & 1-a & a-1\\0 & 1-a^{2} & 1-a\end{array}\right)</math> <math>\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(1+a\right)R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\0 & 1-a & a-1\\0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1\\0 & 1-a & a-1\\0 & 0 & \left(1-a\right)\left(a+2\right)\end{array}\right)</math> ===תרגיל===תהא <math>A</math> מטריצה ריבועית הפיכה. תהא <math>B</math> מטריצה המתקבלת מהחלפת שורות 1,2 של <math>A</math>. כלומר <math>A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}B</math>. מה הקשר בין ההופכית של <math>A</math> להופכית של <math>B</math>? ===תרגיל===נסמן <math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\1 & 0 & 3\end{array}\right)</math> א. מצאו <math>B\in \mathbb{R}^{3\times 2}</math> כך ש- <math>AB=I_2</math>. ב. האם <math>B</math> שמצאתם היא יחידה? ג. האם יש <math>B\in \mathbb{R}^{3\times 2}</math> כך ש- <math>BA=I_3</math>? ====פתרון==== א. ניקח לדוגמא את החלק השמאלי של <math>A</math>, ונמצא לו הופכית ע"י דירוג. נקבל: <math>\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & -1 \end{array}\right)=I_{2\times 2}</math>, ולכן נוכל לקחת <math>B=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & -1 \\0 & 0 \end{array}\right)</math> ונקבל <math>AB=I</math>. ב. היא לא יחידה. אפשר לעשות רעיון דומה עם החלק הימני של <math>A</math> למשל. ג. לא קיימת. נניח בשלילה שקיימת <math>B=\left(\begin{array}{cc}b_1 & b_2 \\b_3 & b_4 \\b_5 & b_6 \end{array}\right)</math> כך ש- <math>BA=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות. ===תרגיל=== תהי <math>0\neq A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>. הוכיחו: <math>A</math> לא הפיכה אם ורק אם היא מחלקת אפס. ====פתרון====משמאל לימין: נתון שהיא מחלקת אפס, ולכן יש <math>B\neq 0</math> כך ש- <math>AB=0</math>. נניח בשלילה ש<math>A</math> הפיכה. לכן יש לה הופכית <math>A^{-1}</math> ונקבל: <math>B=IB=A^{-1}AB=A^{-1}0=0</math> בסתירה. מימין לשמאל: <math>A</math> לא הפיכה. לכן בצורה המדוגרת יש שורת אפסים ומשתנה חופשי, ומכאן שיש פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית. כלומר, יש <math>x\neq 0</math> כך ש- <math>Ax=0</math>. ניקח מטריצה <math>B</math> שבכל עמודה יש את וקטור העמודה <math>x</math> הנ"ל, נקבל (לפי כפל עמודה) <math>AB=0</math>.
