יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math>
הערה: כדי לבדוק אם '''<math>W\subseteq V''' </math> הוא תת מרחב מספיק לבדוק
#לכל <math>w,u\in W</math> מתקיים
שייכות ל <math>W</math> אבל החיבור שלהם לא.
ד.3 V=\mathbb{R}_{2}[x] המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .
(a) ה. המטריצות <math>W=\mathbb{R}_{1}[x]=A\in V\{a+bx,|\, a,btr(A)=0\in\mathbb{R}\} הינו </math> הן תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי.
(b) הוכחה # ברור כי <math>W=</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math># לכל <math>A_1,A_2\{a+bx|in W,\,0\not=balpha\in\mathbb{RF}</math> רוצים להראות ש <math>\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחבalpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שעקבה של המטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> שווה 0. נתון כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W <math>tr(A_1)=tr(A_2)=0</math>. כעת מחוקי עקבהנקבל כי <math>tr(\notin W alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0</math>.
.4 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} .
(a) W4. <math>V=\mathbb{QR} הוא תת _{2}[x]</math> מרחב כי לכל v,w\in W,\,\alpha\inהפלינומים מדרגה 2 מעל <math>\mathbb{FR} מתקיים \alpha v+w\in W </math> .
א.5 V<math>W=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל _{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{FR}=\}</math> הינו תת מרחב כי באופן כללי <math>\mathbb{R} _{n}[x]</math> הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).
(a) ב. <math>W=\mathbb{Q} הוא אינו תת מרחב כי 1a+bx|\in W,0\,\sqrt{2}not=b\in\mathbb{FR} אבל 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin </math> הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב <math>V</math> לא נמצא ב<math>W</math> .