שינויים

הגדרה: הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>. סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>

2. באופן כללי <math>V</math> מרחבים וקטורי, <math>v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_kv_{m+k}</math> וקטורים.

<math>W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k } \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \} </math> 3. עבור <math>W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}</math> מתקיים כי <math>W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n</math> הוכחה: קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר. '''סכום:''' יהא <math>v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n</math>. נגדיר <math>b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}</math> את ממוצע הקורדינאטות. ברור כי <math>w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1</math>. גם ברור כי <math>v=w_1 + (v-w_1)</math>. נראה כי <math>v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2</math> וסיימנו (כי נגדיר <math>w_2=v-w_1</math>) אכן כדי שוקטור יהיה ב <math>W_2</math> סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0. נחשב <math>(a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0</math>. כנדרש. '''סכום ישר:''' יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>