שינויים

1. #<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math> 2.#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר. 3.#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים. 4.#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים. 5. #<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים". 6. #<math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. הערה: #<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)</math>

הערה''קריטריון מקוצר'': כדי לבדוק אם <math>W\subseteq V</math> הוא תת מרחב מספיק לבדוק :#לכל איבר נטרלי: <math>w,u\in W0</math> מתקיים#מוגדרות: של <math>V</math> נמצא ב-<math>u+w\in W</math> .;#איבר נטרליסגירות לחיבור: 0 של לכל <math>Vw,u\in W</math> נמצא ב- מתקיים <math>u+w\in W</math> ;#אקסיומות כפל סגירות לכפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים##מוגדרות <math>\alpha w\in W</math> .

1. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> :  א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות).

אב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי

בג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math>

גד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף (לפי הסעיף הבא:).

הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר# ברור ש 3. מרחב המטריצות <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math># לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\inV=\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>^{n\alpha v_1 +v_2 \in Wtimes n}</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי מעל <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0mathbb{F}</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>.:

אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_1W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math> הינו תת מרחב.

הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. פורמאליתכלומר, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math> .

1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שתי שני תת מרחבים

<math>W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1 & \\ A_2\end{pmatrix} v =0\}</math>

ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת לא הומוגנית. נעשה זאת

יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שתי שני תת מרחבים

+ +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}

שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה במשוואהבחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

נרצה למצוא את התת מרחב <math>W</math> הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. נסמן תת מרחב זה ב <math>W</math> אז פורמאלית, נרצה "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>.

'''תרגיל: (בהרצאה בד"כ)'''

'''הוכחה:'''

====סכום תתי מרחבים וסכום ישר ===='''הגדרה:''' <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.אזי '''סכום תתי המרחבים''' <math>W_1 + W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math> הינו תת מרחב. תכונה: לכל תת מרחב <math>U</math> עבורו <math> W_1,W_2\subseteq U</math> מתקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>. '''הגדרה:''' הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>. סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>. '''דוגמאות:''' 1. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math> <math>W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math> אזי  <math>W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} = \{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}</math> 2. באופן כללי <math>V</math> מרחבים וקטורי, <math>v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k}</math> וקטורים. אם <math>W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}</math> אז <math>W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \} </math> 3. עבור <math>W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}</math> מתקיים כי <math>W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n</math> הוכחה: קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר. '''סכום:''' יהא <math>v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n</math>. נגדיר <math>b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}</math> את ממוצע הקורדינאטות. ברור כי <math>w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1</math>. גם ברור כי <math>v=w_1 + (v-w_1)</math>. נראה כי <math>v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2</math> וסיימנו (כי נגדיר <math>w_2=v-w_1</math>) אכן כדי שוקטור יהיה ב <math>W_2</math> סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0. נחשב <math>(a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0</math>. כנדרש. '''סכום ישר:''' יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math> ==== תרגיל ====במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר. === תרגיל ====במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של<math>W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>