דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math> עם '''חיבור'''
<math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math> ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
אקסיומות מרחב וקטורי:
#'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:'''
לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים
## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> .##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> .##חילוף: <math>v+u=u+v</math> .##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> .##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> .
#'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה''' -בהגדרת שדה
#'''אקסיומות כפל בסקלאר'''
לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים
##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math> ##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math> ##כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math> ## פילוג:###<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math> ### <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math>
טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>.