<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>
ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{or}x,y\leq0\}</math>
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>
# ברור ש <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math>
# לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>\alpha v_1 +v_2 \in W</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>.
3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>
נוכיח :
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> כולה אפסים פרט (bאולי) למקום <math>1,1</math> וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של <math>A_1,A_2</math> ב. המטריצות הסימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} ֱ הן תת </math> והמטריצות האנטי-סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}</math> שתיהן תתי מרחב . הוכחה (עבור הסימטריות)בתרגיל# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math># לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> סימטרית. נתון כי <math>A_1^t=A_1,A_2^t=A_2</math>. כעת מחוקי שיחלוף נקבל כי <math>(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2</math>.
(c) ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\textnormaltext{\,\ or\,}A^{t}=-A\} </math> '''אינו ''' תת מרחב כי \left(המטריצות <math>A_1 = \begin{array}{ccccccc}0 & 1& & 0\cdots & 0\\-1 & 0& & 0 & 0\end{array}\right),\left(vdots & & \begin{array}{cc}1 ddots & 10 & 0\\1 0 & 10 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right)\in W אבל \left(A_2=\begin{array}{ccccccc}0 & 1\\-1 & & 0\end{array}cdots & 0\right)+\left(\begin{array}{cc}1 & 10 & & 0 & 0\\1 \vdots & & 1\end{array}ddots & 0 & 0\right)=\left(\begin{array}{cc}1 0 & 0 & 1\\cdots & 0 & 10\end{array}\right)\notin </math>שייכות ל <math>W </math> אבל החיבור שלהם לא.
.3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .