שינויים

יהי <math>V = \mathbb{R}^4 3 </math>. נגדיר שתי תת מרחבים

<math>W_1=\{\alphaalpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1 \\1\end{pmatrix} :\, \alpha alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>

<math>W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \\2\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \\2\end{pmatrix}

צריך למצוא סקלארים <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}</math> המקיימים

<math>\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \\2\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \\2\end{pmatrix} =\alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1 \\1\end{pmatrix}

שימו לב שאם מצאנו שלושה ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה במשוואה. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4</math>. הנה המערכת(אחרי שנעביר אגף): <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\\alpha_3\\ \alpha_4\end{pmatrix}= 0</math> נדרג ונמשיך  <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &2 & 0 & 2\\ 0 &0 &-2 & -2\end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &0 &0\\0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1\end{pmatrix}\to  </math>קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין <math>\alpha_3,\alpha_4</math> הוא <math>\alpha_3= -\alpha_4</math>. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.  לכן התשובה הסופית  <math>W_1\cap W_2 =\{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} -\alpha\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}</math>