הגדרה: יהיה מרחב וקטורי. ניקח לו בסיס כלשהו (מותר לפי המשפט), מספר האיברים בבסיס מוגדר להיות '''המימד''' של הבסיס. לא יכולה להיות סתירה בהגדרה מכיוון שלפי המשפט כל בסיס שנבחר ייתן בדיוק את אותו המספר.
'''הגדרה: הבסיס של מרחב האפס הינו הקבוצה הריקה, ולכן המימד של מרחב האפס הינו אפס.'''
===תרגיל===
הוכח כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויים לינארית
====הוכחה====
יש למצוא קבוצה סופית של וקטורים ת"ל בתוך הקבוצה: <math>\{0\}\subseteq A</math>. וקטור האפס תמיד תלוי לינארית כי לכל סקלר שונה מאפס (ובפרט לאחד) מתקיים <math>1\cdot 0 = 0</math>.
לכן הקבוצה <math>\{0\}</math> '''לעולם אינה מהווה בסיס''' כי היא ת"ל, בפרט היא לא בסיס למרחב האפס.
===משפט השלישי חינם===
*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (מסומן: <math>\#S=dimV</math>.)
===תרגיל חשוב(חלק מ7.7)===
יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. '''הוכח/הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח
====פתרון====
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.
===תרגיל 7.17===
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:
*B בסיס עבור V
*וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
====הוכחה====
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:
נניח B בסיס לV, ברור