שינויים
/* קריטריונים שקולים לבסיס */
בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא '''בסיס'''.
זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן. בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'הגדרה: הבסיס ' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של מרחב האפס הינו המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה הריקה, ולכן המימד של הגענו לבסיס. בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב האפס הינו אפסוקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל. אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן. הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math> <math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math> <math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל. לסיכום: '''משפט:'''יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:# <math>B</math> בסיס.# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.
